Sejam , dois campos vetoriais e um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre e prove (suponha e
Passo 1
Então, o exercício pede para provar que a operação rot (curl) é linear, ou seja, para dois campos vetoriais e em , mostrar que . O conteúdo aqui é cálculo vetorial, vamos precisar da definição de rot (curl) e da propriedade de linearidade das derivadas parciais. Assumimos que e são de classe , ou seja, todas as derivadas parciais existem e são contínuas.
Passo 2
A gente começa lembrando a definição de rot para um campo . Em bloco, a gente tem:
Isso gera como componentes:
(rot,vec u)1 = partial Rpartial y - partial Qpartial z, (rot,vec u)2 = partial Ppartial z - partial Rpartial x, (rot,vec u)3 = partial Qpartial x - partial Ppartial y
Passo 3
Agora, define vec v = P1, i + Q1, j + R1, k. Se a gente somar vec u + vec v, as componentes somam ponto a ponto:
vec u + vec v = (P + P1), i + (Q + Q1), j + (R + R1), k
Passo 4
Para calcular rot(vec u + vec v), aplicamos a mesma definição acima às funções P+P1, Q+Q1 e R+R1. Como derivada parcial é linear, por exemplo: