Sejam u, v: Omega subset R^3 R^3, dois campos vetoriais e varphi: Omega R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre varphi, u, e v e prove (suponha u=P imath+Q jmath+R k e v=P1 imath+Q1 jmath+R1 k):
rot(u, v)=rot u+rot v

Passo 1

Então, o exercício pede para provar que a operação rot (curl) é linear, ou seja, para dois campos vetoriais vec u e vec v em Omega subset R^3, mostrar que rot(vec u + vec v) = rot,vec u + rot,vec v. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, vamos precisar da definição de rot (curl) e da propriedade de linearidade das derivadas parciais. Assumimos que vec u e vec v são de classe C^1(Omega), ou seja, todas as derivadas parciais existem e são contínuas.

Passo 2

A gente começa lembrando a definição de rot para um campo vec u = P, i + Q, j + R, k. Em bloco, a gente tem:
rot,vec u = nabla times vec u = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z P & Q & R
Isso gera como componentes:
(rot,vec u)1 = partial Rpartial y - partial Qpartial z, (rot,vec u)2 = partial Ppartial z - partial Rpartial x, (rot,vec u)3 = partial Qpartial x - partial Ppartial y

Passo 3

Agora, define vec v = P1, i + Q1, j + R1, k. Se a gente somar vec u + vec v, as componentes somam ponto a ponto:
vec u + vec v = (P + P1), i + (Q + Q1), j + (R + R1), k

Passo 4

Para calcular rot(vec u + vec v), aplicamos a mesma definição acima às funções P+P1, Q+Q1 e R+R1. Como derivada parcial é linear, por exemplo:
partialpartial y(R + R1) - partialpartial z(Q + Q1) = l(partial Rpartial y - partial Qpartial zr) + l(partial R1partial y - partial Q1partial zr)
Fazendo o mesmo nas três componentes, a gente vê que cada uma delas se separa na soma da componente correspondente de rot,vec u com a de rot,vec v.

Passo 5

Como todas as componentes somam direitinho, chegamos à conclusão desejada:
rot(vec u + vec v) = rot,vec u + rot,vec v

Resposta

rot(vec u + vec v) = rot,vec u + rot,vec v

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