Calcule o laplaciano da função varphi(x, y)=arctg(yx), x>0 nabla^2 varphi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o laplaciano da função varphi(x, y) = arctg(yx), onde x > 0. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente derivadas parciais e o operador laplaciano. O laplaciano nos ajuda a entender como a função se comporta em diferentes direções no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o laplaciano. Em duas variáveis, o laplaciano de uma função varphi(x, y) é dado por:
nabla^2 varphi = partial^2 varphipartial x^2 + partial^2 varphipartial y^2
Ou seja, é a soma das segundas derivadas parciais da função em relação a x e y.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de varphi em relação a x. A função é:
varphi(x, y) = arctg(yx)
Sabemos que a derivada de arctg(u) é 11 + u^2 vezes a derivada de u. Então:
partial varphipartial x = 11 + (yx)^2 cdot (-yx^2) = -yx^2 + y^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de varphi em relação a x:
partial^2 varphipartial x^2 = partialpartial x(-yx^2 + y^2)
Aplicando a regra do quociente:
partial^2 varphipartial x^2 = -y cdot (-2x)(x^2 + y^2)^2 = 2xy(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Vamos agora calcular a primeira derivada de varphi em relação a y:
partial varphipartial y = 11 + (yx)^2 cdot (1x) = xx^2 + y^2

Passo 6

Em seguida, calculamos a segunda derivada de varphi em relação a y:
partial^2 varphipartial y^2 = partialpartial y(xx^2 + y^2)
Aplicando a regra do quociente:
partial^2 varphipartial y^2 = -2xy(x^2 + y^2)^2

Resposta

Agora, somamos as segundas derivadas parciais:
nabla^2 varphi = 2xy(x^2 + y^2)^2 + -2xy(x^2 + y^2)^2 = 0
Então, o laplaciano de varphi(x, y) = arctg(yx) é zero.

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