Calcule o laplaciano da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o laplaciano da função
, onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente derivadas parciais e o operador laplaciano. O laplaciano nos ajuda a entender como a função se comporta em diferentes direções no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o laplaciano. Em duas variáveis, o laplaciano de uma função
é dado por:
Ou seja, é a soma das segundas derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
em relação a
. A função é:
Sabemos que a derivada de
é
vezes a derivada de
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos agora calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 6
Em seguida, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Resposta
Agora, somamos as segundas derivadas parciais:
Então, o laplaciano de
é zero.