a) Sejam gamma e D como no Teorema de Green. Mostre que a área de D=ointgamma x d y.
b) Calcule a área da região limitada pela curva
x=t-sen t, y=1-cos t, 0 <= t <= 2 pi,
e pelo eixo x.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. Temos duas partes:
a) Precisamos mostrar, usando o Teorema de Green, que a área da região D pode ser calculada pela integral de linha ointgamma x , dy .
b) Devemos calcular a área da região limitada pela curva paramétrica
x = t - sin t, y = 1 - cos t, 0 <= t <= 2pi,
e pelo eixo x .
Para resolver essas partes, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para calcular áreas usando integrais de linha.

Passo 2

Vamos começar pela parte a. Queremos mostrar que a área de D pode ser expressa como ointgamma x , dy usando o Teorema de Green.

Passo 3

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada gamma com uma integral dupla sobre a região D limitada por gamma . A fórmula geral do teorema é:
ointgamma (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Para calcular a área, queremos que a integral de linha represente a área de D . Para isso, escolhemos funções P e Q de forma que a integral dupla resulte na área.

Passo 4

Vamos escolher P = 0 e Q = x . Com essas escolhas, a integral de linha fica:
ointgamma (0 cdot dx + x cdot dy) = ointgamma x , dy
Agora, aplicando o Teorema de Green:
ointgamma x , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy = integral duplaD ( partial xpartial x - 0 ) , dx , dy = integral duplaD 1 , dx , dy
A integral dupla integral duplaD 1 , dx , dy representa exatamente a área de D .

Passo 5

Portanto, mostramos que:
Área de D = ointgamma x , dy Á

Passo 6

Agora, vamos para a parte b. Precisamos calcular a área da região limitada pela curva paramétrica dada e pelo eixo x .
A curva é definida por:
x = t - sin t, y = 1 - cos t, 0 <= t <= 2pi
E queremos a área entre essa curva e o eixo x .

Passo 7

Como temos a parametrização da curva, podemos usar a formulação que obtivemos na parte a para calcular a área:
Área = ointgamma x , dy Á
Como a curva está parametrizada por t , podemos reescrever a integral de linha como uma integral definida em termos de t :
Área = integral0^2pi x(t) cdot dydt , dt Á

Passo 8

Primeiro, vamos calcular dydt :
y = 1 - cos t Rightarrow dydt = sin t
Então, substituindo x(t) e dydt na integral:
Área = integral0^2pi (t - sin t) cdot sin t , dt Á

Passo 9

Vamos expandir o integrando:
(t - sin t) cdot sin t = t sin t - sin^2 t
Então, a integral fica:
Área = integral0^2pi t sin t , dt - integral0^2pi sin^2 t , dt Á

Passo 10

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral:
integral t sin t , dt
Vamos usar a integração por partes, onde:
u = t Rightarrow du = dt,
dv = sin t , dt Rightarrow v = -cos t
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du :
integral t sin t , dt = -t cos t + integral cos t , dt = -t cos t + sin t
Avaliando de 0 a 2pi :
[ -t cos t + sin t ]0^2pi = ( -2pi cos 2pi + sin 2pi ) - ( -0 cos 0 + sin 0 ) = -2pi(1) + 0 - 0 + 0 = -2pi
Segunda Integral:
integral sin^2 t , dt
Usamos a identidade trigonométrica:
sin^2 t = 1 - cos 2t2
Então:
integral0^2pi sin^2 t , dt = integral0^2pi 1 - cos 2t2 , dt = 12 [ integral0^2pi 1 , dt - integral0^2pi cos 2t , dt ]
Calculando as integrais:
integral0^2pi 1 , dt = 2pi,
integral0^2pi cos 2t , dt = [ sin 2t2 ]0^2pi = 0
Portanto:
integral0^2pi sin^2 t , dt = 12 (2pi - 0) = pi

Passo 11

Substituindo os resultados das integrais na expressão da área:
Área = (-2pi) - (pi) = -3pi Á
No entanto, como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Área = 3pi Á

Resposta

a) Mostramos que a área de D é dada por ointgamma x , dy usando o Teorema de Green.
b) A área da região limitada pela curva paramétrica e pelo eixo x é 3pi .

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