a) Sejam
e
como no Teorema de Green. Mostre que a área de
.
b) Calcule a área da região limitada pela curva
e pelo eixo
.
b) Calcule a área da região limitada pela curva
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. Temos duas partes:
a) Precisamos mostrar, usando o Teorema de Green, que a área da região
pode ser calculada pela integral de linha
.
b) Devemos calcular a área da região limitada pela curva paramétrica
e pelo eixo
.
Para resolver essas partes, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para calcular áreas usando integrais de linha.
Passo 2
Vamos começar pela parte a. Queremos mostrar que a área de
pode ser expressa como
usando o Teorema de Green.
Passo 3
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula geral do teorema é:
Para calcular a área, queremos que a integral de linha represente a área de
. Para isso, escolhemos funções
e
de forma que a integral dupla resulte na área.
Passo 4
Vamos escolher
e
. Com essas escolhas, a integral de linha fica:
Agora, aplicando o Teorema de Green:
A integral dupla
representa exatamente a área de
.
Passo 5
Portanto, mostramos que:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b. Precisamos calcular a área da região limitada pela curva paramétrica dada e pelo eixo
.
A curva é definida por:
E queremos a área entre essa curva e o eixo
.
Passo 7
Como temos a parametrização da curva, podemos usar a formulação que obtivemos na parte a para calcular a área:
Como a curva está parametrizada por
, podemos reescrever a integral de linha como uma integral definida em termos de
:
Passo 8
Primeiro, vamos calcular
:
Então, substituindo
e
na integral:
Passo 9
Vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 10
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Vamos usar a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Avaliando de
a
:
Segunda Integral:
Usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Calculando as integrais:
Portanto:
Passo 11
Substituindo os resultados das integrais na expressão da área:
No entanto, como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
a) Mostramos que a área de
é dada por
usando o Teorema de Green.
b) A área da região limitada pela curva paramétrica e pelo eixo
é
.