Um colega afirmou que obteve uma função cujas derivadas parciais são fx(x, y)=x+4 y e fy(x, y)=3 x-y. Você acredita nele?

Passo 1

O enunciado fornece as derivadas parciais
fx(x,y)=x+4,y,e
e
fy(x,y)=3x - y.
Como o aluno de cálculo sabe, para existir uma função f de classe C^2 cujo gradiente seja esse, é necessário que os derivados mistos coincidam (Teorema de Schwarz):
partialpartial yl(fxr) ;=; partialpartial xl(fyr)

Passo 2

Calculamos o derivado misto fxy, derivando fx em relação a y:
partialpartial yl(x+4,y,er) ;=; 4,e

Passo 3

Agora calculamos o outro misto fyx, derivando fy em relação a x:
partialpartial xl(3x - yr) ;=; 3

Passo 4

Como obtemos
fxy=4e
e
fyx=3,
e 4eneq3, falha a condição de igualdade dos derivadas mistos. Logo não existe nenhuma função f com essas duas derivadas parciais.

Resposta

Não, pois os derivadas mistas partial^2 f/partial ypartial x e partial^2 f/partial xpartial y não coincidem.

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