Um colega afirmou que obteve uma função cujas derivadas parciais são
. Você acredita nele?
Passo 1
O enunciado fornece as derivadas parciais
e
.
Como o aluno de cálculo sabe, para existir uma função de classe
cujo gradiente seja esse, é necessário que os derivados mistos coincidam (Teorema de Schwarz):
e
Como o aluno de cálculo sabe, para existir uma função
Passo 2
Calculamos o derivado misto
, derivando
em relação a
:
Passo 3
Agora calculamos o outro misto
, derivando
em relação a
:
Passo 4
Como obtemos
e
,
e , falha a condição de igualdade dos derivadas mistos. Logo não existe nenhuma função
com essas duas derivadas parciais.
e
e
Resposta
Não, pois os derivadas mistas
e
não coincidem.