Calcule o rotacional do campo vetorial
F(x, y, z)=(2 x sen z, 3^z-e^y^2, x^2 ln (cos z))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial F(x, y, z). O rotacional é uma operação da Cálculo Vetorial que nos ajuda a entender como um campo vetorial “gira” em torno de um ponto. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar a fórmula do rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição do rotacional. Em coordenadas cartesianas, se temos um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz), o rotacional de F é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Vamos identificar Fx, Fy e Fz do nosso campo:
Fx = 2x sin z, Fy = 3^z - e^y^2, Fz = x^2 ln (cos z)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária:
  1. partial Fzpartial y: Como Fz = x^2 ln (cos z), não há y nele, então a derivada é 0.
  2. partial Fypartial z: Derivando Fy = 3^z - e^y^2 em relação a z, temos:
partial Fypartial z = 3^z ln 3
  1. partial Fxpartial z: Derivando Fx = 2x sin z em relação a z, temos:
partial Fxpartial z = 2x cos z
  1. partial Fzpartial x: Derivando Fz = x^2 ln (cos z) em relação a x, temos:
partial Fzpartial x = 2x ln (cos z)
  1. partial Fypartial x: Como Fy = 3^z - e^y^2 não depende de x, a derivada é 0.
  2. partial Fxpartial y: Como Fx = 2x sin z não depende de y, a derivada é 0.

Passo 4

Agora, vamos montar cada componente do rotacional usando as derivadas que calculamos:
  1. Primeiro componente:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 0 - 3^z ln 3 = -3^z ln 3
  1. Segundo componente:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = 2x cos z - 2x ln (cos z) = 2x ( cos z - ln (cos z) )
  1. Terceiro componente:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 0 - 0 = 0

Resposta

Então, o rotacional do campo vetorial F(x, y, z) é:
nabla times F = ( -3^z ln 3, 2x ( cos z - ln (cos z) ), 0 )

Exercícios relacionados