Resolver as equações:
(d) x^{2}-6 x+10=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação quadrática x^{2}-6x+10=0.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes da equação são a=1,\quad b=-6,\quad c=10.
O que se quer: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa equação (as raízes da equação).

Passo 2

Escolha do método e porquê (sem realizar ainda): vou usar o método de completar o quadrado porque ele é bem didático — transforma a expressão quadrática em um quadrado perfeito mais uma constante, o que permite isolar x de forma direta. Esse método também mostra naturalmente por que aparecem raízes complexas quando a constante final é negativa. Depois vou confirmar rapidamente com a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) como checagem.

Passo 3

Explicando o método de completar o quadrado (aula curta): para uma expressão do tipo x^{2}+px, podemos transformá‑la em um quadrado perfeito adicionando e subtraindo \left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}. Por exemplo, x^{2}+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}=\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^{2}.
No nosso caso, a equação tem termo quadrático x^{2} e termo linear -6x. Aqui p=-6. Então o número que devemos adicionar e subtrair é \left(\dfrac{-6}{2}\right)^{2}=(-3)^{2}=9. A ideia é reescrever a expressão como um quadrado perfeito mais um resto, sem alterar a equação (somamos e subtraímos o mesmo número).

Passo 4

Aplicando completar o quadrado passo a passo na equação: comece com
x^{2}-6x+10=0.
Adiciono e subtraio 9:
x^{2}-6x+9-9+10=0.
Agora os três primeiros termos formam um quadrado perfeito:
(x-3)^{2}-9+10=0.
Simplifico -9+10:
(x-3)^{2}+1=0.

Passo 5

Isolando o quadrado e interpretando o resultado: temos
(x-3)^{2}=-1.
Aqui aparece um lado direito negativo. Na álgebra real não existe número real cujo quadrado seja -1. Introduzimos então a unidade imaginária i, definida por
i^{2}=-1.
Portanto as soluções para (x-3)^{2}=-1 são
x-3=\pm i.
Isolando x:
x=3\pm i.
Essas são duas raízes complexas conjugadas.

Passo 6

Verificação usando a fórmula quadrática (checagem e explicação do discriminante): a fórmula para raízes de \,ax^{2}+bx+c=0 é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac. No nosso caso:
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot 1\cdot 10 = 36-40=-4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas e \sqrt{\Delta}=\sqrt{-4}=2i. Aplicando a fórmula:
x=\frac{-(-6)\pm 2i}{2\cdot 1}=\frac{6\pm 2i}{2}=3\pm i,
que confirma o resultado obtido completando o quadrado.

Passo 7

Checagem direta por substituição (mostrando que realmente anula a equação): verifico x=3+i. Primeiro calcule (3+i)^{2}:
(3+i)^{2}=9+6i+i^{2}=9+6i-1=8+6i.
Agora avalio a expressão original:
(3+i)^{2}-6(3+i)+10=(8+6i)-18-6i+10.
Somando os termos reais e imaginários:
(8-18+10)+(6i-6i)=0+0=0.
Portanto x=3+i satisfaz a equação. Pelo mesmo argumento (ou pela conjugação), x=3-i também satisfaz.

Passo 8

Resumo final e ânimo: a equação não tem raízes reais porque o discriminante é negativo; ela tem um par de raízes complexas conjugadas que obtivemos de duas formas consistentes (completar o quadrado e fórmula). Parabéns — essa é a rotina típica para quadráticas que resultam em raízes complexas. Você consegue fazer isso na prova: completar o quadrado rápido ou aplicar Bhaskara, e lembrar que \Delta<0 => raízes complexas.

Resposta

x=3+i
x=3-i

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