Resolver as equações:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação quadrática
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes da equação são
O que se quer: encontrar todos os valores de
que satisfazem essa equação (as raízes da equação).
Passo 2
Escolha do método e porquê (sem realizar ainda): vou usar o método de completar o quadrado porque ele é bem didático — transforma a expressão quadrática em um quadrado perfeito mais uma constante, o que permite isolar
de forma direta. Esse método também mostra naturalmente por que aparecem raízes complexas quando a constante final é negativa. Depois vou confirmar rapidamente com a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) como checagem.
Passo 3
Explicando o método de completar o quadrado (aula curta): para uma expressão do tipo
podemos transformá‑la em um quadrado perfeito adicionando e subtraindo
. Por exemplo,
No nosso caso, a equação tem termo quadrático
e termo linear
. Aqui
. Então o número que devemos adicionar e subtrair é
. A ideia é reescrever a expressão como um quadrado perfeito mais um resto, sem alterar a equação (somamos e subtraímos o mesmo número).
Passo 4
Aplicando completar o quadrado passo a passo na equação: comece com
Adiciono e subtraio
:
Agora os três primeiros termos formam um quadrado perfeito:
Simplifico
:
Passo 5
Isolando o quadrado e interpretando o resultado: temos
Aqui aparece um lado direito negativo. Na álgebra real não existe número real cujo quadrado seja
. Introduzimos então a unidade imaginária
, definida por
Portanto as soluções para
são
Isolando
:
Essas são duas raízes complexas conjugadas.
Passo 6
Verificação usando a fórmula quadrática (checagem e explicação do discriminante): a fórmula para raízes de
é
onde o discriminante é
. No nosso caso:
Como
, as raízes são complexas e
. Aplicando a fórmula:
que confirma o resultado obtido completando o quadrado.
Passo 7
Checagem direta por substituição (mostrando que realmente anula a equação): verifico
. Primeiro calcule
:
Agora avalio a expressão original:
Somando os termos reais e imaginários:
Portanto
satisfaz a equação. Pelo mesmo argumento (ou pela conjugação),
também satisfaz.
Passo 8
Resumo final e ânimo: a equação não tem raízes reais porque o discriminante é negativo; ela tem um par de raízes complexas conjugadas que obtivemos de duas formas consistentes (completar o quadrado e fórmula). Parabéns — essa é a rotina típica para quadráticas que resultam em raízes complexas. Você consegue fazer isso na prova: completar o quadrado rápido ou aplicar Bhaskara, e lembrar que
=> raízes complexas.