Calcule.
\left(\frac{2}{3}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}. Ou seja:
  • temos a base \dfrac{2}{3};
  • o expoente é 3 (um inteiro positivo);
  • a tarefa é encontrar o valor dessa potência.

Passo 2

Regra importante: para qualquer inteiro positivo n e números inteiros a,b com b\neq0,
\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}.
Isto significa que elevar uma fração a uma potência é o mesmo que elevar numerador e denominador separadamente àquela potência. Também vale a ideia básica de potência: a^{n} é multiplicar a por si mesmo n vezes.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso:
\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} = \dfrac{2^{3}}{3^{3}}.
Agora calcule 2^{3} e 3^{3}:
2^{3} = 2\cdot2\cdot2 = 8, \qquad 3^{3} = 3\cdot3\cdot3 = 27.

Passo 4

Substituindo:
\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} = \dfrac{8}{27}.
Verificação de simplificação: 8=2^{3} e 27=3^{3} não têm fatores primos em comum, logo a fração já está na forma irredutível.

Passo 5

Só para intuição rápida: como decimal isso vale aproximadamente
\dfrac{8}{27}\approx 0,296296\ldots
ou seja, uma dízima periódica.

Resposta

\dfrac{8}{27}

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