1. Calcule \left(x^{2}+2 x-1\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para expandir o polinômio \bigl(x^{2}+2x-1\bigr)^{4}.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Binômio para dois termos:
(A + B)^{4} = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} A^{4-k} B^{k}
Aqui tomamos
A = x^{2} + 2x \quad\text{e}\quad B = -1.

Passo 2

Aplicando o Teorema do Binômio com A e B:
\bigl(x^{2}+2x-1\bigr)^{4} = (A + B)^{4} = A^{4} \;-\; 4\,A^{3} \;+\;6\,A^{2} \;-\;4\,A \;+\;1.

Passo 3

Precisamos calcular A^{k} para k=1,2,3,4. Note que
A = x^{2} + 2x = x\,(x+2).
Então
A^{2} = \bigl[x\,(x+2)\bigr]^{2} = x^{2}\,(x+2)^{2} = x^{2}\bigl(x^{2} + 4x + 4\bigr) = x^{4} + 4x^{3} + 4x^{2},
A^{3} = A \cdot A^{2} = \bigl(x^{2}+2x\bigr)\bigl(x^{4} + 4x^{3} + 4x^{2}\bigr) = x^{6} + 6x^{5} + 12x^{4} + 8x^{3},
A^{4} = \bigl[A^{2}\bigr]^{2} = \bigl(x^{4} + 4x^{3} + 4x^{2}\bigr)^{2} = x^{8} + 8x^{7} + 24x^{6} + 32x^{5} + 16x^{4}.

Passo 4

Substituindo em
(A+B)^{4} = A^{4} - 4A^{3} + 6A^{2} - 4A + 1
obtemos
\begin{aligned} \bigl(x^{2}+2x-1\bigr)^{4} &= \bigl(x^{8} + 8x^{7} + 24x^{6} + 32x^{5} + 16x^{4}\bigr) \\\ &\quad -4\bigl(x^{6} + 6x^{5} + 12x^{4} + 8x^{3}\bigr) \\\ &\quad +6\bigl(x^{4} + 4x^{3} + 4x^{2}\bigr) \\\ &\quad -4\bigl(x^{2} + 2x\bigr) + 1. \end{aligned}

Passo 5

Agora somamos os coeficientes de cada potência de x:
\begin{aligned} x^{8}:&\quad 1,\\\ x^{7}:&\quad 8,\\\ x^{6}:&\quad 24 - 4 = 20,\\\ x^{5}:&\quad 32 - 24 = 8,\\\ x^{4}:&\quad 16 - 48 + 6 = -26,\\\ x^{3}:&\quad -32 + 24 = -8,\\\ x^{2}:&\quad 24 - 4 = 20,\\\ x^{1}:&\quad -8,\\\ x^{0}:&\quad 1. \end{aligned}

Resposta

\bigl(x^{2}+2x-1\bigr)^{4} = x^{8} + 8x^{7} + 20x^{6} + 8x^{5} - 26x^{4} - 8x^{3} + 20x^{2} - 8x + 1.

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