Calcule:
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ll} 5 & 6 \\\\ 7 & 8 \end{array}\right]
3 B-A

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede para calcular 3B-A. Mais formalmente:
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{ll} 5 & 6 \\\\ 7 & 8 \end{array}\right]
A pergunta é: qual é a matriz resultante de 3B-A?\n
Informações relevantes dadas:
  • As duas matrizes são de mesma dimensão: ambas são 2\times2.
  • O operador 3B-A envolve multiplicação escalar de B por 3 e depois subtração de A.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (explicação didática):
  • Multiplicação de uma matriz por um escalar: se \alpha é um número e B=(b_{ij}) é uma matriz, então \alpha B é a matriz cujos elementos são \alpha b_{ij}. Em outras palavras, multiplica-se cada entrada de B por \alpha.
  • Subtração de matrizes: se duas matrizes X=(x_{ij}) e Y=(y_{ij}) têm a mesma dimensão, então X-Y é a matriz (x_{ij}-y_{ij}). Ou seja, faz-se a subtração elemento a elemento.
    Essas operações são feitas componente a componente, e por isso é importante que as matrizes tenham a mesma forma (aqui ambas são 2\times2).

Passo 3

Aplicar a multiplicação escalar 3B. Vou multiplicar cada entrada de B por 3:
b_{11}=5\quad\Rightarrow\quad 3\cdot b_{11}=3\cdot 5=15,
b_{12}=6\quad\Rightarrow\quad 3\cdot b_{12}=3\cdot 6=18,
b_{21}=7\quad\Rightarrow\quad 3\cdot b_{21}=3\cdot 7=21,
b_{22}=8\quad\Rightarrow\quad 3\cdot b_{22}=3\cdot 8=24.
Portanto os elementos de 3B são 15,\;18,\;21,\;24 nas posições correspondentes.

Passo 4

Agora a subtração 3B-A será feita elemento a elemento. Escrevendo genericamente: se C=3B-A e C=(c_{ij}), então
c_{ij}=3\,b_{ij}-a_{ij}.
Vou calcular cada c_{ij} usando os valores obtidos no passo anterior e os elementos de A.

Passo 5

Calcular os quatro elementos de C=3B-A separadamente:
c_{11}=3\cdot b_{11}-a_{11}=15-1=14,
c_{12}=3\cdot b_{12}-a_{12}=18-2=16,
c_{21}=3\cdot b_{21}-a_{21}=21-3=18,
c_{22}=3\cdot b_{22}-a_{22}=24-4=20.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check): as dimensões bateram (todas as operações foram 2\times2 elemento a elemento) e os cálculos aritméticos são simples subtrações de inteiros pequenos — é improvável ter erro de sinais. Isso confirma os valores individuais encontrados no passo anterior.

Passo 7

Dica rápida para prova: quando pedir algo do tipo \alpha B - A, faça primeiro \alpha B (multiplicando cada entrada) e depois subtraia A elemento a elemento. Se as matrizes forem maiores, trabalhar por linhas pode ajudar (calcular uma linha de cada vez).

Resposta

\left[\begin{array}{ll} 14 & 16 \\ 18 & 20 \end{array}\right]

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