Verifique se os produtos A B e B A existem. Quando existirem, calcule:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\\\ -1 & 3 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\\\ 0 & -1 \\\\ 3 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Verificar se os produtos A B e B A existem.
  • Quando existirem, calcular esses produtos.
As matrizes fornecidas são:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] 0 & -1\\[4pt] 3 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 2

Regra fundamental (explicação didática): se uma matriz M tem dimensões m\times n (ou seja, m linhas e n colunas) e outra matriz N tem dimensões p\times q, então o produto MN existe somente se o número de colunas de M for igual ao número de linhas de N, isto é, se n=p. Nesse caso o produto resulta em uma matriz de dimensões m\times q. A operação elemento a elemento é feita por produto escalar: a entrada na posição (i,j) de MN é o produto escalar da i-ésima linha de M com a j-ésima coluna de N.

Passo 3

Identificar as dimensões das matrizes dadas:
  • A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas, ou seja, A é 2\times3.
  • A matriz B tem 3 linhas e 2 colunas, ou seja, B é 3\times2.

Passo 4

Aplicando a regra de existência:
  • Para A B: como A é 2\times3 e B é 3\times2, o número de colunas de A ( 3) é igual ao número de linhas de B ( 3). Logo A B existe e terá dimensão 2\times2.
  • Para B A: como B é 3\times2 e A é 2\times3, o número de colunas de B ( 2) é igual ao número de linhas de A ( 2). Logo B A existe e terá dimensão 3\times3.
Ótimo — ambos existem. Agora vamos calcular, passo a passo, cada entrada usando produto escalar de linhas por colunas.

Passo 5

Cálculo de A B. Vou escrever as linhas de A e as colunas de B para facilitar:
  • Linha 1 de A: \,(1,\;2,\;0).
  • Linha 2 de A: \,(-1,\;3,\;1).
  • Coluna 1 de B: \,(2,\;0,\;3)^\top.
  • Coluna 2 de B: \,(1,\;-1,\;2)^\top.
A entrada (1,1) de A B é o produto escalar da linha 1 de A com a coluna 1 de B:
(AB)_{11}=1\cdot2+2\cdot0+0\cdot3=2.
A entrada (1,2) é o produto escalar da linha 1 de A com a coluna 2 de B:
(AB)_{12}=1\cdot1+2\cdot(-1)+0\cdot2=1-2=-1.
A entrada (2,1) é o produto escalar da linha 2 de A com a coluna 1 de B:
(AB)_{21}=(-1)\cdot2+3\cdot0+1\cdot3=-2+0+3=1.
A entrada (2,2) é o produto escalar da linha 2 de A com a coluna 2 de B:
(AB)_{22}=(-1)\cdot1+3\cdot(-1)+1\cdot2=-1-3+2=-2.
Portanto, a matriz produto A B (construída a partir dessas entradas) é
AB=\begin{pmatrix} 2 & -1\\[4pt] 1 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Cálculo de B A. vou listar linhas de B e colunas de A:
  • Linha 1 de B: \,(2,\;1).
  • Linha 2 de B: \,(0,\;-1).
  • Linha 3 de B: \,(3,\;2).
  • Coluna 1 de A: \,(1,\;-1)^\top.
  • Coluna 2 de A: \,(2,\;3)^\top.
  • Coluna 3 de A: \,(0,\;1)^\top.
Agora calculo cada entrada (BA)_{ij} como produto escalar da i-ésima linha de B com a j-ésima coluna de A.
Linha 1 de B com colunas de A:
(BA)_{11}=2\cdot1+1\cdot(-1)=2-1=1,
(BA)_{12}=2\cdot2+1\cdot3=4+3=7,
(BA)_{13}=2\cdot0+1\cdot1=0+1=1.
Linha 2 de B com colunas de A:
(BA)_{21}=0\cdot1+(-1)\cdot(-1)=0+1=1,
(BA)_{22}=0\cdot2+(-1)\cdot3=0-3=-3,
(BA)_{23}=0\cdot0+(-1)\cdot1=0-1=-1.
Linha 3 de B com colunas de A:
(BA)_{31}=3\cdot1+2\cdot(-1)=3-2=1,
(BA)_{32}=3\cdot2+2\cdot3=6+6=12,
(BA)_{33}=3\cdot0+2\cdot1=0+2=2.
Logo a matriz B A é
BA=\begin{pmatrix} 1 & 7 & 1\\[4pt] 1 & -3 & -1\\[4pt] 1 & 12 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Resumo motivador: deu trabalho, mas com calma e usando sempre o produto escalar linha×coluna chegamos às respostas. Confere que as dimensões e as contas batem; se quiser eu mostro essas multiplicações em forma de somas alinhadas para treinar ainda mais.

Resposta

AB existe e
AB=\begin{pmatrix} 2 & -1\\[4pt] 1 & -2 \end{pmatrix}
BA existe e
BA=\begin{pmatrix} 1 & 7 & 1\\[4pt] 1 & -3 & -1\\[4pt] 1 & 12 & 2 \end{pmatrix}]

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