Regra fundamental (explicação didática): se uma matriz M tem dimensões m\times n (ou seja, m linhas e n colunas) e outra matriz N tem dimensões p\times q, então o produto MN existe somente se o número de colunas de M for igual ao número de linhas de N, isto é, se n=p. Nesse caso o produto resulta em uma matriz de dimensões m\times q. A operação elemento a elemento é feita por produto escalar: a entrada na posição (i,j) de MN é o produto escalar da i-ésima linha de M com a j-ésima coluna de N.
Passo 3
Identificar as dimensões das matrizes dadas:
A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas, ou seja, A é 2\times3.
A matriz B tem 3 linhas e 2 colunas, ou seja, B é 3\times2.
Passo 4
Aplicando a regra de existência:
Para A B: como A é 2\times3 e B é 3\times2, o número de colunas de A (3) é igual ao número de linhas de B (3). Logo A B existe e terá dimensão 2\times2.
Para B A: como B é 3\times2 e A é 2\times3, o número de colunas de B (2) é igual ao número de linhas de A (2). Logo B A existe e terá dimensão 3\times3.
Ótimo — ambos existem. Agora vamos calcular, passo a passo, cada entrada usando produto escalar de linhas por colunas.
Passo 5
Cálculo de A B. Vou escrever as linhas de A e as colunas de B para facilitar:
Linha 1 de A: \,(1,\;2,\;0).
Linha 2 de A: \,(-1,\;3,\;1).
Coluna 1 de B: \,(2,\;0,\;3)^\top.
Coluna 2 de B: \,(1,\;-1,\;2)^\top.
A entrada (1,1) de A B é o produto escalar da linha 1 de A com a coluna 1 de B:
(AB)_{11}=1\cdot2+2\cdot0+0\cdot3=2.
A entrada (1,2) é o produto escalar da linha 1 de A com a coluna 2 de B:
(AB)_{12}=1\cdot1+2\cdot(-1)+0\cdot2=1-2=-1.
A entrada (2,1) é o produto escalar da linha 2 de A com a coluna 1 de B:
(AB)_{21}=(-1)\cdot2+3\cdot0+1\cdot3=-2+0+3=1.
A entrada (2,2) é o produto escalar da linha 2 de A com a coluna 2 de B:
Resumo motivador: deu trabalho, mas com calma e usando sempre o produto escalar linha×coluna chegamos às respostas. Confere que as dimensões e as contas batem; se quiser eu mostro essas multiplicações em forma de somas alinhadas para treinar ainda mais.