Quando é possível multiplicar duas matrizes? Explique em termos do número de linhas e colunas.

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quando é possível multiplicar duas matrizes? Explique em termos do número de linhas e colunas.”\n
Informações dadas (explicitadas):
  • Há duas matrizes quaisquer, vamos chamá‑las de A e B.
  • Queremos saber a condição em termos do número de linhas e colunas que permite formar o produto AB.

Passo 2

Definindo notação comum para dimensões (isso facilita a explicação):
  • Seja A uma matriz de dimensão m\times n. Isso significa que A tem m linhas e n colunas.
  • Seja B uma matriz de dimensão p\times q. Isso significa que B tem p linhas e q colunas.
Regra fundamental (a resposta curta, que depois vou justificar): o produto AB está definido se, e somente se, o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Em notação: AB existe se, e somente se, n=p.

Passo 3

Por que essa condição é necessária? Intuição e fórmula elementar:
  • Para encontrar cada elemento do produto AB tomamos uma linha de A e uma coluna de B e fazemos o produto escalar (soma de produtos termo a termo).
  • Uma linha de A tem n entradas; uma coluna de B tem p entradas. Para poder multiplicar termo a termo e somar, esses comprimentos precisam ser iguais. Portanto exige‑se n=p.
Fórmula precisa para os elementos: se AB está definido (isto é, n=p), então AB terá dimensão m\times q e os seus elementos são dados por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj},
onde i varia de 1 a m e j varia de 1 a q. Aqui A_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de A, e B_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de B.

Passo 4

Exemplos concretos para fixar a ideia (passo a passo de cálculo de um elemento):
  • Exemplo onde é possível multiplicar: seja
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\[4pt] -1 & 3 & 4\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 0 & -1 \\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix}.
Aqui A é 2\times 3 ( m=2,n=3) e B é 3\times 2 ( p=3,q=2). Como n=p=3, o produto AB existe e será 2\times 2. Vamos calcular (AB)_{11} (primeira linha, primeira coluna):
(AB)_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}+A_{13}B_{31}=1\cdot2 + 2\cdot0 + 0\cdot5 = 2.
O mesmo processo vale para os outros elementos: sempre alinhando um número de termos igual a n=p.
  • Exemplo onde não é possível multiplicar: se A for 2\times 3 e B for 4\times 2, então n=3 e p=4 e 3\neq4. Não existe produto AB porque não há correspondência termo a termo entre uma linha de A (comprimento 3) e uma coluna de B (comprimento 4).]

Passo 5

Consequências úteis e observações (coisas que caem na prova):
  • Dimensão do produto: se A é m\times n e B é n\times q, então AB é m\times q. Memorize: “as extremidades ficam, o meio some” (o n que era colunas de A e linhas de B some na dimensão final).
  • Ordem importa: normalmente AB\neq BA. Mesmo quando ambos produtos existem, eles podem ter dimensões diferentes ou valores diferentes. Por exemplo, se A e B são 2\times2 é possível comparar AB e BA; com matrizes maiores as dimensões às vezes impedem um dos produtos.
  • Vetores: multiplicar uma matriz m\times n por um vetor coluna n\times1 dá um vetor coluna m\times1 — isso é útil para ver que sistemas lineares A\mathbf{x}=\mathbf{b} têm sentido apenas quando as dimensões batem.
  • Matriz identidade: existe a matriz identidade I_n tal que, para qualquer A com n colunas (ou n linhas conforme o lado), AI_n=A e I_nA=A quando as dimensões permitirem.

Passo 6

Dica prática para a prova (como checar rápido): ao ver duas matrizes, escreva rapidamente as dimensões como m\times n e p\times q. Se o número do meio ( n e p) for igual, pode multiplicar AB e a dimensão resultante será m\times q. Se não for igual, não perca tempo tentando multiplicar — está proibido.

Resposta

Dadas A de dimensão m\times n e B de dimensão p\times q, o produto AB está definido se, e somente se, n=p. Nesse caso AB tem dimensão m\times q e seus elementos são (AB)_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}.

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