Calcule:
\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]^{k} \quad(k \in \mathbb{N})

Passo 1

O enunciado pede calcular
A^k,\quad A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\;k\in\mathbb{N}.
O conteúdo é potência de matriz 2\times 2 e vamos usar o princípio de indução juntamente com a definição de multiplicação de matrizes.

Passo 2

Base da indução ( k=1):
A^1 = A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\\ 0 & 1\end{pmatrix},
que coincide com a forma
\displaystyle\begin{pmatrix}1 & k \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
quando k=1.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para certo k\ge1 valha
A^k = \begin{pmatrix}1 & k \\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Então
A^{k+1} = A^k\,A = \begin{pmatrix}1 & k \\\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & k+1 \\\\\ 0 & 1\end{pmatrix},
ou seja, a fórmula vale também para k+1.

Passo 4

Pelo princípio da indução, a expressão
A^k = \begin{pmatrix}1 & k \\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
é verdadeira para todo k\in\mathbb{N}.

Resposta

\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\\ 0 & 1\end{array}\right]^{k} = \begin{pmatrix}1 & k \\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados