Calcule:
\left[\begin{array}{ll}2 & -1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right]^{k} \quad(k \in \mathbb{N})

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & -1\\[6pt]3 & -2\end{pmatrix}
e queremos encontrar \,A^k para k\in\mathbb{N}.
O conteúdo aqui é potência de matriz. Em vez de diagonalizar, vamos observar que, se conseguirmos achar um polinômio de grau baixo que A satisfaça (o polinômio mínimo), basta usá-lo para reduzir A^k.]

Passo 2

Vamos calcular diretamente
A^2 = \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + (-1)\cdot3 & 2\cdot(-1) + (-1)\cdot(-2)\\[6pt] 3\cdot2 + (-2)\cdot3 & 3\cdot(-1) + (-2)\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto
A^2 = I_{2},
onde I_{2} é a matriz identidade 2\times2.]

Passo 3

Como A^2=I_{2}, escrevemos k=2m+r com r\in\{0,1\}. Então
A^k = A^{2m+r} = \bigl(A^2\bigr)^{m}\,A^{r} = I_{2}^{\,m}\,A^{r} = A^{r}.
Se r=0 (isto é, k é par), A^k = I_{2}.
Se r=1 (isto é, k é ímpar), A^k = A.

Resposta

Para todo k\in\mathbb{N}:
se k é par então
A^k = I_{2},
e se k é ímpar então
A^k = \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix}.]

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