sendo k\in\mathbb{N}. O conteúdo necessário é a propriedade de multiplicação de matrizes diagonais e um argumento por indução para estender ao expoente k.
Passo 2
Quando multiplicamos duas matrizes diagonais D=\diag(\mu_1,\dots,\mu_n) e D novamente, cada elemento fora da diagonal permanece zero e cada elemento da diagonal se torna o produto dos correspondentes elementos:
D^2 = D \cdot D = \diag(\mu_1^2,\mu_2^2,\dots,\mu_n^2).
Supondo, por hipótese de indução, que
D^k = \diag(\mu_1^k,\mu_2^k,\dots,\mu_n^k),
temos
D^{k+1} = D^k \cdot D = \diag(\mu_1^k,\dots,\mu_n^k)\,\diag(\mu_1,\dots,\mu_n) = \diag(\mu_1^{k+1},\dots,\mu_n^{k+1}).
Como o caso base k=1 é trivial, a propriedade vale para todo k\in\mathbb{N}.