Use a fórmula do cálculo da inversa de matrizes 2 \times para calcular a inversa das matrizes abaixo:
\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 5 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ 5 & 2\end{pmatrix}
usando a fórmula padrão de inversão de matrizes 2\times2. O conteúdo é cálculo de inversa de matriz 2\times2, que requer o determinante e a matriz adjunta.

Passo 2

Para uma matriz genérica
M = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
se o determinante
\det(M)=ad - bc \neq 0,
então
M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.

Passo 3

Na nossa matriz A temos a=3, b=1, c=5 e d=2. Calculamos
\det(A) = 3\cdot2 - 1\cdot5 = 6 - 5 = 1.
Como \det(A)=1\neq0, A é invertível.

Passo 4

Aplicando a fórmula com \det(A)=1:
A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ -5 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ -5 & 3\end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ -5 & 3\end{pmatrix}.

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