Encontre as inversas:
\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \operatorname{sen} \theta \\\\ -\operatorname{sen} \theta & \cos \theta\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} \cos\theta & \operatorname{sen}\theta\\\\ -\operatorname{sen}\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é inversão de matriz 2\times2, para o qual usaremos o cálculo do determinante e a fórmula geral da inversa.

Passo 2

Para uma matriz genérica
\displaystyle\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
temos
\det = ad - bc.
Aqui
a = \cos\theta,\quad b = \operatorname{sen}\theta,\quad c = -\operatorname{sen}\theta,\quad d = \cos\theta,
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\det A = \cos\theta\cdot\cos\theta \;-\; (\operatorname{sen}\theta)\,(-\operatorname{sen}\theta) = \cos^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta = 1.

Passo 3

Como \det A=1, aplicamos a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b\\\\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\,\operatorname{sen}\theta\\\ \operatorname{sen}\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\operatorname{sen}\theta\\\ \operatorname{sen}\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.

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