Considere as matrizes A=\left(a_{i j}\right)_{2 \times 2}, tal que a_{i j}=\left\{\begin{array}{ccc}2^{i} & \text { se } & i \neq j \\\\ 3 i & \text { se } & i=j\end{array}\right. e B=\left[\begin{array}{cc}x & 2 \\\\ 1 & y\end{array}\right], x e y reais. Verifique cada uma das sentenças, concluindo se é verdadeira ou falsa.
1.) Se A \cdot B=\left[\begin{array}{cc}5 & 4 \\\\ 10 & 2\end{array}\right], então x+y=0.
2.) O par ( 3,2 ) é solução do sistema \left\{\begin{array}{l}a_{11} x+a_{12} y=13 \\\ a_{21} x+a_{22} y=20\end{array}\right..
3.) Se x=0 e y=-3 então A+B=\left[\begin{array}{ll}3 & 4 \\\\ 4 & 3\end{array}\right]
4.) A matriz inversa de A é \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\\\ -\frac{2}{5} & \frac{3}{10}\end{array}\right]
com x,y\in\mathbb{R}. Precisamos verificar quatro sentenças envolvendo multiplicação de matrizes, solução de sistema linear, soma de matrizes e inversa de matriz 2\times2.
Passo 2
Vamos primeiro determinar explicitamente A. Para i=j=1 temos a_{11}=3\cdot1=3. Para i=j=2 temos a_{22}=3\cdot2=6. Para i\neq j vêm
a_{12}=2^1=2,\quad a_{21}=2^2=4.
Logo
A=\begin{pmatrix}3&2\\\ 4&6\end{pmatrix}.
Passo 3
Sentença 1: “Se A\cdot B=\begin{pmatrix}5&4\\\ 10&2\end{pmatrix}, então x+y=0.”
Calculemos
AB =\begin{pmatrix}3&2\\\ 4&6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x&2\\\ 1&y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3x+2&6+2y\\\ 4x+6&8+6y\end{pmatrix}.
Igualando a \begin{pmatrix}5&4\\\ 10&2\end{pmatrix} obtemos o sistema
3x+2=5,\quad6+2y=4,\quad4x+6=10,\quad8+6y=2.
Dessas equações vêm x=1 e y=-1. Logo x+y=1+(-1)=0. A sentença é verdadeira.
Passo 4
Sentença 2: “O par (3,2)\) é solução do sistema
\(\begin{cases}
a_{11}x+a_{12}y=13,\\\ a_{21}x+a_{22}y=20
\end{cases}.”
Substituindo a_{11}=3,a_{12}=2,a_{21}=4,a_{22}=6 e (x,y)=(3,2):
Sentença 4: “A inversa de A é \begin{pmatrix}\tfrac{3}{5}&-\tfrac{1}{5}\\\ -\tfrac{2}{5}&\tfrac{3}{10}\end{pmatrix}.”
Para matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\tfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{pmatrix}.
Aqui a=3,b=2,c=4,d=6 e \det A=3\cdot6-2\cdot4=10. Logo