Calcule a \left[\mathrm{Zn}^{2+}\right] residual em uma solução aquosa alcalina preparada a partir de 2 \times 10^{-5} \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de \mathrm{Zn}\left(\mathrm{NO}_{3}\right)_{2} e 1,5 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de \mathrm{NH}_{3}.
Dados: \mathrm{Kf}_{1}=160, \mathrm{Kf}_{2}=40, \mathrm{Kf}_{3}=10, \mathrm{Kf}_{4}=2.
\mathrm{R}:\left[\mathrm{Zn}^{2+}\right]=2,3 \times 10^{-11} \mathrm{~mol} / \mathrm{L}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a concentração livre de \mathrm{Zn}^{2+} quando complexado por \mathrm{NH}_{3} em excesso. O conteúdo é equilíbrio de complexação metal–ligante, usando as constantes de formação sucessivas \mathrm{Kf}_{1},\dots,\mathrm{Kf}_{4}. Vamos precisar das reações de formação dos complexos, das constantes globais \beta_{n} e da condição de massa para o zinco.

Passo 2

Escrevemos as etapas de complexação e definimos as constantes globais \beta_{n} como o produto das constantes parciais:
\mathrm{Zn}^{2+} + \mathrm{NH}_{3} \rightleftharpoons \mathrm{ZnNH}_{3}^{2+},\quad K_{f1}=160
\mathrm{ZnNH}_{3}^{2+} + \mathrm{NH}_{3} \rightleftharpoons \mathrm{Zn(NH}_{3})_{2}^{2+},\quad K_{f2}=40
\mathrm{Zn(NH}_{3})_{2}^{2+} + \mathrm{NH}_{3} \rightleftharpoons \mathrm{Zn(NH}_{3})_{3}^{2+},\quad K_{f3}=10
\mathrm{Zn(NH}_{3})_{3}^{2+} + \mathrm{NH}_{3} \rightleftharpoons \mathrm{Zn(NH}_{3})_{4}^{2+},\quad K_{f4}=2
Logo,
\beta_{1}=K_{f1}=160,\quad \beta_{2}=K_{f1}K_{f2}=160\times40=6{,}4\times10^{3},
\beta_{3}=6{,}4\times10^{3}\times10=6{,}4\times10^{4},\quad \beta_{4}=6{,}4\times10^{4}\times2=1{,}28\times10^{5}.

Passo 3

A partir da conservação de massa do zinco,
[\mathrm{Zn}]_{\text{tot}} =[\mathrm{Zn}^{2+}]\bigl(1+\beta_{1}[\mathrm{NH}_{3}]+\beta_{2}[\mathrm{NH}_{3}]^{2} +\beta_{3}[\mathrm{NH}_{3}]^{3}+\beta_{4}[\mathrm{NH}_{3}]^{4}\bigr).
Como [\mathrm{NH}_{3}]_{\text{livre}}\approx1{,}5\\ \mathrm{mol/L} (em grande excesso), usamos esse valor constante.

Passo 4

Isolando \left[\mathrm{Zn}^{2+}\right]:
\left[\mathrm{Zn}^{2+}\right] =\frac{\left[\mathrm{Zn}\right]_{\text{tot}}}{1+\beta_{1}(1,5)+\beta_{2}(1,5)^{2}+\beta_{3}(1,5)^{3}+\beta_{4}(1,5)^{4}}.
Substituindo numérico:
\beta_{1}(1,5)=160\times1,5=240,
\beta_{2}(1,5)^{2}=6,4\times10^{3}\times2,25=1,44\times10^{4},
\beta_{3}(1,5)^{3}=6,4\times10^{4}\times3,375=2,16\times10^{5},
\beta_{4}(1,5)^{4}=1,28\times10^{5}\times5,0625=6,48\times10^{5}.
Somando tudo:
1 + 240 + 1,44\times10^{4} + 2,16\times10^{5} + 6,48\times10^{5} \approx8,78641\times10^{5}.
Como \left[\mathrm{Zn}\right]_{\text{tot}}=2\times10^{-5},mol/L,
\left[\mathrm{Zn}^{2+}\right]\approx\frac{2\times10^{-5}}{8,78641\times10^{5}} \approx2,3\times10^{-11}\\ \mathrm{mol/L}.

Resposta

[\mathrm{Zn}^{2+}]=2{,}3\times10^{-11}\\ \mathrm{mol/L}

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