Sejam
tais que
e
. Determine:
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes
e informa os determinantes:
-
. -
.
A pergunta é: determinar
.
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade fundamental do determinante que vamos usar: o determinante de um produto é o produto dos determinantes. Ou seja, a propriedade que queremos justificar é
Antes de provar isso formalmente, uma explicação intuitiva: o determinante mede quanto uma transformação linear (representada por uma matriz) escala volumes em
. Se a transformação
escala volumes por um fator
e a transformação
por
, então aplicar primeiro
e depois
(ou seja, aplicar
) escala volumes por
. Assim intuitivamente
.
Passo 3
Agora uma justificativa formal (didática, sem pular etapas). Pense nas colunas de uma matriz
como vetores
. Para cada matriz fixa
, a aplicação
é uma função que, quando vista coluna a coluna de
, é:
- multilinear (linear em cada coluna separadamente): porque multiplicar
por é uma transformação linear em cada coluna e o determinante é multilinear nas colunas; - alternada (muda de sinal se trocar duas colunas): pois o determinante tem essa propriedade;
- e satisfaz
, onde é a identidade.
Mas o determinante
é caracterizado como a única função multilinear, alternada e que toma valor
em
. Portanto, a função
também é multilinear, alternada e verifica
. Pela unicidade da função determinante, tem-se
para todo
. Ou seja,
o que implica
Passo 4
Aplicando o resultado do Passo 3 com
, obtemos
Agora substituímos os valores numéricos fornecidos no enunciado:
Passo 5
Fazendo a multiplicação simples:
Para ficar mais concreto: se quiser imaginar matrizes explícitas que confirmam isso, uma escolha simples em dimensão
é tomar
Então
,
e
tem
, o que ilustra a propriedade.