Sejam A, B \in M_{n}(\Re) tais que \operatorname{det} A=4 e \operatorname{det} B=5. Determine:
\operatorname{det}(\mathrm{AB})

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes A,B\in M_{n}(\Re) e informa os determinantes:
  • \det A = 4.
  • \det B = 5.
A pergunta é: determinar \det(AB).

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade fundamental do determinante que vamos usar: o determinante de um produto é o produto dos determinantes. Ou seja, a propriedade que queremos justificar é
\det(AB)=\det(A)\,\det(B).
Antes de provar isso formalmente, uma explicação intuitiva: o determinante mede quanto uma transformação linear (representada por uma matriz) escala volumes em \Re^{n}. Se a transformação A escala volumes por um fator \det A e a transformação B por \det B, então aplicar primeiro B e depois A (ou seja, aplicar AB) escala volumes por \det A\cdot \det B. Assim intuitivamente \det(AB)=\det A\det B.

Passo 3

Agora uma justificativa formal (didática, sem pular etapas). Pense nas colunas de uma matriz X como vetores \mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n. Para cada matriz fixa A, a aplicação
f_A:\;M_n(\Re)\to\Re,\qquad f_A(X)=\det(AX)
é uma função que, quando vista coluna a coluna de X, é:
  • multilinear (linear em cada coluna separadamente): porque multiplicar X por A é uma transformação linear em cada coluna e o determinante é multilinear nas colunas;
  • alternada (muda de sinal se trocar duas colunas): pois o determinante tem essa propriedade;
  • e satisfaz f_A(I)=\det(AI)=\det A, onde I é a identidade.
Mas o determinante \det(\cdot) é caracterizado como a única função multilinear, alternada e que toma valor 1 em I. Portanto, a função g(X):= \dfrac{f_A(X)}{\det A} também é multilinear, alternada e verifica g(I)=1. Pela unicidade da função determinante, tem-se g(X)=\det X para todo X. Ou seja,
\frac{\det(AX)}{\det A}=\det X\quad\text{para todo }X,
o que implica
\det(AX)=\det A\;\det X\quad\text{para todo }X.

Passo 4

Aplicando o resultado do Passo 3 com X=B, obtemos
\det(AB)=\det A\;\det B.
Agora substituímos os valores numéricos fornecidos no enunciado:
\det(AB)=\det A\;\det B=4\cdot 5.

Passo 5

Fazendo a multiplicação simples:
4\cdot 5=20.
Para ficar mais concreto: se quiser imaginar matrizes explícitas que confirmam isso, uma escolha simples em dimensão n é tomar
A=\operatorname{diag}(4,1,\dots,1),\qquad B=\operatorname{diag}(5,1,\dots,1).
Então \det A=4, \det B=5 e AB=\operatorname{diag}(20,1,\dots,1) tem \det(AB)=20, o que ilustra a propriedade.

Resposta

\det(AB)=20

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