Calcule \left|\begin{array}{cccc}1 & x & 1 & 1 \\\\ 1 & x^{2} & 2 & 1 \\\\ 5 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|=0.

Passo 1

O enunciado pede os valores de x que fazem
\left|\begin{array}{cccc} 1 & x & 1 & 1 \\\\ 1 & x^{2} & 2 & 1 \\\\ 5 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = 0.
Vamos usar expansão por cofactores (menores) ao longo da terceira linha, já que só há um elemento não nulo nessa linha.

Passo 2

Ao expandir pela terceira linha, o único termo não nulo é 5 na posição (3,1). O sinal do cofactor é (-1)^{3+1}=+1. Assim o determinante original vale
5 \;\times\; \det\begin{pmatrix} x & 1 & 1\\\ x^{2} & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculemos
D = \det\begin{pmatrix} x & 1 & 1\\\ x^{2} & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
por desenvolvimento na primeira linha:
D = x\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&1\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}x^{2}&1\\\ 1&1\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}x^{2}&2\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Agora cada 2\times 2:
\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&1\end{pmatrix}=1,\quad \det\begin{pmatrix}x^{2}&1\\\ 1&1\end{pmatrix}=x^{2}-1,\quad \det\begin{pmatrix}x^{2}&2\\\ 1&1\end{pmatrix}=x^{2}-2.
Logo
D = x\cdot1 \;-\;(x^{2}-1)\;+\;(x^{2}-2) = x - x^{2} +1 + x^{2}-2 = x -1.

Passo 4

O determinante original é
5\,D = 5\,(x -1).
Para que seja zero, basta ter x-1=0, isto é
x = 1.

Resposta

x = 1

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