Considere o seguinte sistema:
\left\{\begin{array}{l} 3 x+y=b \\\ a x+2 y=4 \end{array}\right.
Determine os valores de a e b para que o sistema:
c) seja impossível.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 3x + y = b,\\\ ax + 2y = 4 \end{cases}
e pede os valores de a e b que tornam o sistema impossível. O conteúdo aqui é classificação de sistemas lineares pelo determinante da matriz de coeficientes e pelo estudo de consistência quando o determinante é zero.

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz de coeficientes:
\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 1\\\ a & 2 \end{vmatrix} = 3\cdot2 - 1\cdot a = 6 - a.
Se \Delta \neq 0, o sistema tem solução única. Logo, para ser impossível precisamos ter \Delta = 0, ou seja a = 6.

Passo 3

Quando a = 6, as equações ficam
3x + y = b, \quad 6x + 2y = 4.
Note que a segunda é exatamente o dobro da primeira, que daria 6x + 2y = 2b. Para haver consistência, precisaríamos de 2b = 4, i.e.\ b = 2. Se b \neq 2, essa igualdade não ocorre e o sistema não admite nenhuma solução — é impossível.

Resposta

O sistema é impossível exatamente quando
a = 6 \quad\text{e}\quad b \neq 2.

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