Verifique se os seguintes conjuntos V são espaços vetoriais:
V=\mathbb{R}^{2}, munido das operações \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}, y_{1}\right) e a \cdot(x, y)=(a x, a y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto V=\mathbb{R}^2, equipado com
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1,y_1)
e
a\cdot(x,y)=(a x,a y),
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Em particular, vamos checar o axioma da existência do elemento neutro em relação à adição.

Passo 2

Para ser espaço vetorial deve existir um vetor neutro e\in V tal que, para todo v\in V,
e+v=v \quad\text{e}\quad v+e=v.
Seja e=(e_1,e_2) e v=(x,y). Pela definição de “+” temos
e+v=(e_1,e_2)\quad\text{e}\quad v+e=(x,y).
O primeiro igual deve satisfazer e+v=v, ou seja (e_1,e_2)=(x,y) para todo (x,y). Isso exigiria e=(x,y) para todo v, o que é impossível. Logo não existe vetor neutro para essa adição.

Passo 3

Como falha a existência do elemento neutro em relação à adição, pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial não é satisfeito. Portanto, V não é espaço vetorial.

Resposta

V não é um espaço vetorial.

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