Verifique se S é LI ou LD:
S=\{(1,1,0),(1,4,5),(3,6,7)\} \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \displaystyle S=\{(1,1,0),\,(1,4,5),\,(3,6,7)\}\subset\mathbb{R}^3
é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
O conteúdo é Álgebra Linear: independência de vetores em \mathbb{R}^n.
Para isso, vamos montar uma matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante.

Passo 2

Formamos a matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} cujas colunas são os vetores de S:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\\\ 1 & 4 & 6 \\\\ 0 & 5 & 7 \end{pmatrix}

Passo 3

Calculamos o determinante de A usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores:
\det(A) =1\cdot(4\cdot7 - 6\cdot5) -1\cdot(1\cdot7 - 6\cdot0) +3\cdot(1\cdot5 - 4\cdot0)
\det(A) =1\cdot(28 - 30) -1\cdot(7 - 0) +3\cdot(5 - 0) =-2 -7 +15 =6

Passo 4

Como \det(A)=6\neq0, a única combinação linear que gera o vetor nulo é a trivial.
Logo, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente.

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