Calcule Lf(t) onde f(t) é dada por:
(a) f(t)=7 t+3
(b) f(t)=e^-t cosh t
© f(t)=sen^2 t
(d) f(t)=4 t^2-5 sen 3 t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace Lf(t) para quatro funções diferentes de t. O conteúdo da matéria envolve definição de transformada de Laplace, propriedade de linearidade, tabelas de transformadas padrões e teoremas de descolamento no domínio de s. Para usar de forma ágil, vamos recorrer às transformadas conhecidas: transformada de t^n, de constante, de e^atf(t), de cosh(at), de sin(at) e usar identidades trigonométricas quando necessário.

Passo 2

Para (a) f(t)=7t+3, aplicamos linearidade:
L7t+3=7,Lt+3,L1 Sabendo que Lt=1/s^2 e L1=1/s, obtemos
7cdot1s^2+3cdot1s=7s^2+3s

Passo 3

Para (b) f(t)=e^-tcosh t, use o descolamento no domínio de s:
Le^-tcosh t=Lcosh t|sto s+1 Como Lcosh t=s/(s^2-1), temos
s+1(s+1)^2-1=s+1s^2+2s+1-1=s+1s(s+2)

Passo 4

Para © f(t)=sin^2 t, usamos a identidade sin^2 t=(1-cos2t)/2 e linearidade:
Lsin^2 t=12L1-12Lcos2t Substituindo L1=1/s e Lcos2t=s/(s^2+4),
12l(1s-ss^2+4r)=2s(s^2+4)

Passo 5

Para (d) f(t)=4t^2-5sin3t, separamos pela linearidade:
L4t^2=4cdot2s^3=8s^3,Lsin3t=3s^2+9 Então
L4t^2-5sin3t=8s^3-5cdot3s^2+9=8s^3-15s^2+9

Resposta

(a) dfrac7s^2+dfrac3s
(b) dfracs+1s(s+2)
© dfrac2s(s^2+4)
(d) dfrac8s^3-dfrac15s^2+9

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