Use a relação raizA-raizB=A-BraizA+raizB para mostrar que a série
sumn=1^infty(n-raizn^2-1)
é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A questão pede pra gente usar a relação raizA - raizB = A - BraizA + raizB para mostrar que a série
sumn=1^infty(n - raizn^2-1)
é divergente. O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries infinitas e propriedades de limites. Vamos precisar aplicar a relação dada para simplificar os termos da série e depois analisar o comportamento dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a relação fornecida para simplificar o termo geral da série. Temos:
n - raizn^2-1 = n^2 - (n^2 - 1)raizn^2 + raizn^2-1 = 1n + raizn^2-1
Então, a série original fica:
sumn=1^infty 1n + raizn^2-1

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador n + raizn^2-1. Para grandes valores de n, raizn^2-1 pode ser aproximado por n - 12n. Vamos ver isso:
raizn^2-1 = n raiz1 - 1n^2 approx n (1 - 12n^2) = n - 12n

Passo 4

Substituindo essa aproximação no denominador:
n + raizn^2-1 approx n + (n - 12n) = 2n - 12n
Para simplificar, podemos desprezar o termo 12n para grandes n, então:
n + raizn^2-1 approx 2n

Passo 5

Com essa aproximação, o termo geral da série fica:
1n + raizn^2-1 approx 12n
Então, a série original se comporta como:
sumn=1^infty 12n = 12 sumn=1^infty 1n

Passo 6

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n é a famosa série harmônica, que é divergente. Multiplicar por 12 não muda essa característica de divergência.

Resposta

Portanto, a série sumn=1^infty(n - raizn^2-1) é divergente.

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