Use a relação
para mostrar que a série
é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A questão pede pra gente usar a relação
para mostrar que a série
é divergente. O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries infinitas e propriedades de limites. Vamos precisar aplicar a relação dada para simplificar os termos da série e depois analisar o comportamento dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a relação fornecida para simplificar o termo geral da série. Temos:
Então, a série original fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador
. Para grandes valores de
,
pode ser aproximado por
. Vamos ver isso:
Passo 4
Substituindo essa aproximação no denominador:
Para simplificar, podemos desprezar o termo
para grandes
, então:
Passo 5
Com essa aproximação, o termo geral da série fica:
Então, a série original se comporta como:
Passo 6
Sabemos que a série
é a famosa série harmônica, que é divergente. Multiplicar por
não muda essa característica de divergência.
Resposta
Portanto, a série
é divergente.