Calcule:
(a)
(b)
©
(d) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{3{x}-1}{x{2}}
(a)
(b)
©
(d) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{3{x}-1}{x{2}}
Passo 1
Beleza, vamos resolver alguns limites que temos aqui. Estamos trabalhando com limites quando
se aproxima de 0, e o conteúdo envolve exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a função exponencial e, possivelmente, usar a regra de L’Hôpital quando encontrarmos formas indeterminadas como
. Vamos lá!
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, analisamos o limite
quando
se aproxima de 0. Se substituirmos
, temos
, que é uma forma indeterminada. Então, vamos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se
resulta em
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.
A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é 1. Então:
Passo 3
Parte (b):
Aqui, temos o limite
quando
tende a 0. Substituindo
, obtemos novamente
, uma forma indeterminada. Vamos aplicar a regra de L’Hôpital.
A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é 1. Então:
Passo 4
Parte ©:
Agora, vamos para
quando
se aproxima de 0. Substituindo
, temos
, forma indeterminada. Aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.
A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é 1. Então:
Passo 5
Parte (d):
Por fim, temos
com
se aproximando de 0 pela direita. Substituindo
, obtemos
, então usamos a regra de L’Hôpital. Porém, agora temos que derivar duas vezes porque o denominateur é
.
Primeira derivada:
- Numerador: a derivada de
é - Denominador: a derivada de
é
Então, aplicando a regra de L’Hôpital pela primeira vez:
Ainda temos uma forma
, então aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.
Segunda derivada:
- Numerador: a derivada de
é - Denominador: a derivada de
é 2
Agora:
Resposta
(a)
(b)
©
(d)