Calcule:
(a) lim x 0 e^2 x-1x
(b) lim x 0 e^x^2-1x
© lim x 0 5^x-1x
(d) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{3{x}-1}{x{2}}

Passo 1

Beleza, vamos resolver alguns limites que temos aqui. Estamos trabalhando com limites quando se aproxima de 0, e o conteúdo envolve exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a função exponencial e, possivelmente, usar a regra de L’Hôpital quando encontrarmos formas indeterminadas como . Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): lim x 0 e^2x-1x = lim x 0 2e^2x1 = 2e^0 = 2 times 1 = 2

Primeiro, analisamos o limite quando se aproxima de 0. Se substituirmos , temos , que é uma forma indeterminada. Então, vamos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se resulta em ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.
A derivada de em relação a é , e a derivada de é 1. Então:

Passo 3

Parte (b): lim x 0 e^x^2-1x = lim x 0 2x e^x^21 = 2 times 0 times e^0 = 0

Aqui, temos o limite quando tende a 0. Substituindo , obtemos novamente , uma forma indeterminada. Vamos aplicar a regra de L’Hôpital.
A derivada de em relação a é , e a derivada de é 1. Então:

Passo 4

Parte ©: lim x 0 5^x-1x = lim x 0 5^x ln(5) = 5^0 ln(5) = 1 times ln(5) = ln(5)

Agora, vamos para quando se aproxima de 0. Substituindo , temos , forma indeterminada. Aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.
A derivada de em relação a é , e a derivada de é 1. Então:

Passo 5

Parte (d): lim x 0^+ 3^x-1x^2 = lim x 0^+ 3^x ln(3)2x

Por fim, temos lim x 0^+ 3^x (ln(3))^22 = 3^0 (ln(3))^22 = 1 times (ln(3))^22 = (ln(3))^22 com se aproximando de 0 pela direita. Substituindo , obtemos , então usamos a regra de L’Hôpital. Porém, agora temos que derivar duas vezes porque o denominateur é .
Primeira derivada:
  • Numerador: a derivada de é
  • Denominador: a derivada de é
Então, aplicando a regra de L’Hôpital pela primeira vez:
Ainda temos uma forma , então aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.
Segunda derivada:
  • Numerador: a derivada de é
  • Denominador: a derivada de é 2
Agora:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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