Esboçar as superfícies de nível de f, para os seguintes valores de k.
d) f(x, y, z) = x - y^2 - z^2, k = -2, -1, 0, 1, 2.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício onde precisamos esboçar as superfícies de nível da função para os valores de . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de superfícies no espaço tridimensional, onde cada superfície corresponde a um valor constante da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. É um conjunto de pontos que satisfazem a equação . Ou seja, para cada valor de , temos uma equação que representa uma superfície no espaço.

Passo 3

Vamos pegar a função dada:
E igualar a :
Agora, queremos expressar em função de e :
Essa equação nos mostra que para cada valor de , a superfície é um paraboloide que abre ao longo do eixo .

Passo 4

Vamos analisar cada valor de :
  • Para :
Isso significa que o paraboloide está deslocado 2 unidades para trás no eixo .
  • Para :
Aqui, o paraboloide está deslocado 1 unidade para trás no eixo .
  • Para :
Nesta situação, o paraboloide está centrado na origem.
  • Para :
O paraboloide está deslocado 1 unidade para frente no eixo .
  • Para :
Aqui, o paraboloide está deslocado 2 unidades para frente no eixo .

Passo 5

Visualizando essas equações, percebemos que todas são paraboloides circulares que se abrem na direção positiva do eixo . Conforme aumenta, a superfície se desloca para a frente, e conforme diminui, ela se desloca para trás.

Passo 6

Para esboçar, imagine cada paraboloide como uma “tigela” aberta para o lado positivo de , posicionada em diferentes locais ao longo do eixo conforme o valor de .

Resposta

As superfícies de nível de para os valores de são paraboloides circulares deslocados ao longo do eixo , dados por . Cada valor de posiciona a superfície 2 unidades para trás ( ), 1 unidade para trás ( ), centrada ( ), 1 unidade para frente ( ) e 2 unidades para frente ( ) no eixo .

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