Esboçar as superfícies de nível de
, para os seguintes valores de
.
d)
.
d)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício onde precisamos esboçar as superfícies de nível da função
para os valores de
. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de superfícies no espaço tridimensional, onde cada superfície corresponde a um valor constante
da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. É um conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. Ou seja, para cada valor de
, temos uma equação que representa uma superfície no espaço.
Passo 3
Vamos pegar a função dada:
E igualar a
:
Agora, queremos expressar
em função de
e
:
Essa equação nos mostra que para cada valor de
, a superfície é um paraboloide que abre ao longo do eixo
.
Passo 4
Vamos analisar cada valor de
:
- Para
:
Isso significa que o paraboloide está deslocado 2 unidades para trás no eixo
.
- Para
:
Aqui, o paraboloide está deslocado 1 unidade para trás no eixo
.
- Para
:
Nesta situação, o paraboloide está centrado na origem.
- Para
:
O paraboloide está deslocado 1 unidade para frente no eixo
.
- Para
:
Aqui, o paraboloide está deslocado 2 unidades para frente no eixo
.
Passo 5
Visualizando essas equações, percebemos que todas são paraboloides circulares que se abrem na direção positiva do eixo
. Conforme
aumenta, a superfície se desloca para a frente, e conforme
diminui, ela se desloca para trás.
Passo 6
Para esboçar, imagine cada paraboloide como uma “tigela” aberta para o lado positivo de
, posicionada em diferentes locais ao longo do eixo
conforme o valor de
.
Resposta
As superfícies de nível de
para os valores de
são paraboloides circulares deslocados ao longo do eixo
, dados por
. Cada valor de
posiciona a superfície 2 unidades para trás (
), 1 unidade para trás (
), centrada (
), 1 unidade para frente (
) e 2 unidades para frente (
) no eixo
.