Seja
(a) Determine cada um dos seguintes limites ou explique por que ele não existe.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(b) Para quais valores de
existe?
© Esboce o gráfico de
.
(a) Determine cada um dos seguintes limites ou explique por que ele não existe.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(b) Para quais valores de
© Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre limites da função
. A função sinal (
) nos diz se um número é positivo, negativo ou zero. Aqui, precisamos analisar os limites dessa função em pontos específicos:
e
. Para isso, vamos entender como o seno se comporta perto desses pontos e como a função sinal reage a isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Quando
se aproxima de 0 pela direita, ou seja, valores positivos próximos a 0,
é positivo porque o seno de um ângulo pequeno positivo é positivo. Então,
. Portanto, o limite é 1.
Passo 3
Agora, vamos para
. Quando
se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, valores negativos próximos a 0,
é negativo porque o seno de um ângulo pequeno negativo é negativo. Então,
. Portanto, o limite é -1.
Passo 4
Vamos verificar
. Para que esse limite exista, os limites laterais (direito e esquerdo) precisam ser iguais. Mas vimos que de um lado é 1 e do outro é -1. Como os limites não são iguais, o limite geral não existe.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Quando
se aproxima de
pela direita, ou seja, um pouco maior que
,
é negativo, pois o seno está negativo no terceiro quadrante. Então,
. Portanto, o limite é -1.
Passo 6
Em seguida, vamos para
. Quando
se aproxima de
pela esquerda, ou seja, um pouco menor que
,
é positivo, já que estamos ainda no segundo quadrante onde o seno é positivo. Então,
. Portanto, o limite é 1.
Passo 7
Vamos verificar
. Para que esse limite exista, os limites laterais precisam ser iguais. Mas vimos que de um lado é -1 e do outro é 1. Como os limites não são iguais, o limite geral não existe.
Resposta
(a)(i)
(a)(ii)
(a)(iii) não existe
(a)(iv)
(a)(v)
(a)(vi) não existe
(a)(ii)
(a)(iii)
(a)(iv)
(a)(v)
(a)(vi)