Seja g(x)=sgn(sen x)
(a) Determine cada um dos seguintes limites ou explique por que ele não existe.
(i) lim x 0^+ g(x)
(ii) lim x 0^- g(x)
(iii) lim x 0 g(x)
(iv) lim x pi^+ g(x) (v) lim x pi^- g(x) (vi) lim x pi g(x)
(b) Para quais valores de a circ lim x a g(x) existe?
© Esboce o gráfico de g.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre limites da função . A função sinal ( ) nos diz se um número é positivo, negativo ou zero. Aqui, precisamos analisar os limites dessa função em pontos específicos: e . Para isso, vamos entender como o seno se comporta perto desses pontos e como a função sinal reage a isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Quando se aproxima de 0 pela direita, ou seja, valores positivos próximos a 0, é positivo porque o seno de um ângulo pequeno positivo é positivo. Então, . Portanto, o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos para . Quando se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, valores negativos próximos a 0, é negativo porque o seno de um ângulo pequeno negativo é negativo. Então, . Portanto, o limite é -1.

Passo 4

Vamos verificar . Para que esse limite exista, os limites laterais (direito e esquerdo) precisam ser iguais. Mas vimos que de um lado é 1 e do outro é -1. Como os limites não são iguais, o limite geral não existe.

Passo 5

Agora, vamos calcular . Quando se aproxima de pela direita, ou seja, um pouco maior que , é negativo, pois o seno está negativo no terceiro quadrante. Então, . Portanto, o limite é -1.

Passo 6

Em seguida, vamos para . Quando se aproxima de pela esquerda, ou seja, um pouco menor que , é positivo, já que estamos ainda no segundo quadrante onde o seno é positivo. Então, . Portanto, o limite é 1.

Passo 7

Vamos verificar . Para que esse limite exista, os limites laterais precisam ser iguais. Mas vimos que de um lado é -1 e do outro é 1. Como os limites não são iguais, o limite geral não existe.

Resposta

(a)(i)
(a)(ii)
(a)(iii) não existe
(a)(iv)
(a)(v)
(a)(vi) não existe

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