Esboçar as curvas de nível de
, para os seguintes valores de
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar as curvas de nível da função
para os valores de
. Isso está dentro do conteúdo de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender como essas curvas são formadas quando a função recebe valores constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são as curvas no plano
onde a função
tem um valor constante
. Ou seja, para cada
, a curva de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa função
. Queremos encontrar a equação que define a curva de nível para cada valor de
:
Passo 4
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Essa é a equação de um círculo no plano
.
Passo 5
Sabemos que a equação
representa um círculo com centro na origem
e raio
. No nosso caso, o raio é
.
Passo 6
Agora, vamos aplicar isso para cada valor de
:
- Para
:
Isso representa apenas o ponto
, já que o raio é zero.
- Para
:
Círculo com raio 1.
- Para
:
Círculo com raio 2.
- Para
:
Círculo com raio 3.
- Para
:
Círculo com raio 4.
Resposta
As curvas de nível da função
para os valores de
são círculos centrados na origem
com raios iguais a cada valor de
. Para
, a curva é apenas o ponto
.