Esboçar as curvas de nível de f, para os seguintes valores de k.
b) f(x, y) = raiz(x^2 + y^2), k = 0, 1, 2, 3, 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar as curvas de nível da função para os valores de . Isso está dentro do conteúdo de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender como essas curvas são formadas quando a função recebe valores constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são as curvas no plano onde a função tem um valor constante . Ou seja, para cada , a curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem a equação .

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa função . Queremos encontrar a equação que define a curva de nível para cada valor de :

Passo 4

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Essa é a equação de um círculo no plano .

Passo 5

Sabemos que a equação representa um círculo com centro na origem e raio . No nosso caso, o raio é .

Passo 6

Agora, vamos aplicar isso para cada valor de :
  • Para :
Isso representa apenas o ponto , já que o raio é zero.
  • Para :
Círculo com raio 1.
  • Para :
Círculo com raio 2.
  • Para :
Círculo com raio 3.
  • Para :
Círculo com raio 4.

Resposta

As curvas de nível da função para os valores de são círculos centrados na origem com raios iguais a cada valor de . Para , a curva é apenas o ponto .

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