Calcule
Passo 1
Vamos calcular o limite $ \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-3 x^{2}+5 x-15}{x^{2}+3 x-18} $. Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e possivelmente fatorar os polinômios para cancelar termos iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos $ x = 3 $ diretamente na expressão:
Numerador: $ 3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 - 15 = 27 - 27 + 15 - 15 = 0 $
Denominador: $ 3^{2} + 3 \cdot 3 - 18 = 9 + 9 - 18 = 0 $
Obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a fração.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador para encontrar termos comuns que possam ser cancelados.
Numerador: $ x^{3} - 3x^{2} + 5x - 15 $
Vamos tentar fatorar por agrupamento:
$ x^{3} - 3x^{2} + 5x - 15 = x^{2}(x - 3) + 5(x - 3) = (x^{2} + 5)(x - 3) $
Denominador: $ x^{2} + 3x - 18 $
Vamos fatorar esse trinômio:
Procuramos dois números que multiplicados dão -18 e somados dão 3. Esses números são 6 e -3.
Então,
$ x^{2} + 3x - 18 = (x + 6)(x - 3) $
Passo 4
Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
$ \frac{(x^{2} + 5)(x - 3)}{(x + 6)(x - 3)} $
Podemos cancelar o termo comum $ (x - 3) $:
$ \frac{x^{2} + 5}{x + 6} $
Passo 5
Agora, com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo $ x = 3 $:
$ \frac{3^{2} + 5}{3 + 6} = \frac{9 + 5}{9} = \frac{14}{9} $
Resposta
O limite é $ \frac{14}{9} $.