Determine uma parametrização para a superfície abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
O cone de revolução gerado pela rotação em torno do eixo Z da semi reta z=y, y >= 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma parametrização para o cone de revolução que é formado pela rotação da semi reta z = y em torno do eixo Z . Basicamente, estamos trabalhando com geometria analítica e cálculo vetorial, onde vamos precisar entender como descrever essa superfície usando parâmetros. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e entender como elas se relacionam com as coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a semi reta z = y com y >= 0 . Essa reta está no plano YZ e faz um ângulo de 45 graus com o eixo Z . Quando giramos essa reta em torno do eixo Z , formamos um cone com vértice na origem.

Passo 3

Para parametrizar esse cone, podemos usar coordenadas polares no plano XY . Vamos definir dois parâmetros:
  • r : representa a distância do ponto à origem no plano XY .
  • theta : o ângulo em relação ao eixo X no plano XY , variando de 0 a 2pi .

Passo 4

Agora, vamos expressar as coordenadas cartesianas (x, y, z) em termos de r e theta . Como estamos girando a semi reta z = y , temos que para cada ponto na semi reta, o valor de z é igual a y . Em coordenadas polares:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = y = r sintheta

Passo 5

Portanto, a parametrização do cone fica:
x = r costheta y = r sintheta z = r sintheta
Onde r >= 0 e theta varia de 0 a 2pi .

Resposta

A parametrização do cone é:
x = r costheta y = r sintheta z = r sintheta
com r >= 0 e 0 <= theta < 2pi .

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