Determine uma parametrização para a superfície abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
O cone de revolução gerado pela rotação em torno do eixo da semi reta ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma parametrização para o cone de revolução que é formado pela rotação da semi reta em torno do eixo . Basicamente, estamos trabalhando com geometria analítica e cálculo vetorial, onde vamos precisar entender como descrever essa superfície usando parâmetros. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e entender como elas se relacionam com as coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a semi reta com . Essa reta está no plano e faz um ângulo de 45 graus com o eixo . Quando giramos essa reta em torno do eixo , formamos um cone com vértice na origem.
Passo 3
Para parametrizar esse cone, podemos usar coordenadas polares no plano . Vamos definir dois parâmetros:
: representa a distância do ponto à origem no plano .
: o ângulo em relação ao eixo no plano , variando de a .
Passo 4
Agora, vamos expressar as coordenadas cartesianas em termos de e . Como estamos girando a semi reta , temos que para cada ponto na semi reta, o valor de é igual a . Em coordenadas polares: