Use a definição de limite para provar que lim x 2(x^2-3 x+1)=-1

Passo 1

Resumindo, queremos provar por definição que
limxto2l(x^2 - 3x +1r) = -1
Isto significa mostrar que, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<de<a, temos
l|,x^2 -3x +1 -(-1)r| < varepsilon

Passo 2

Calculemos a diferença ao limite:
l|x^2 -3x +1 -(-1)r| = l|x^2 -3x +2r| = l|(x-1)(x-2)r| = |x-1|;|x-2|

Passo 3

Para controlar |x-1| usamos que, se restringirmos |x-2|<1 , então
1 < x < 3 Longrightarrow 0 < x-1 < 2 Longrightarrow |x-1| < 2
Logo, sempre que |x-2|<1 teremos
|x-1|;|x-2| < 2,|x-2|

Passo 4

Agora, dado um varepsilon>0, queremos 2,|x-2|<varepsilon. Basta exigir
|x-2| < varepsilon2
Para também garantir |x-2|<1 escolhemos
de<a = min!l(1,tfracvarepsilon2r)

Passo 5

Concluímos que, se 0<|x-2|<de<a, então simultaneamente |x-2|<1 e |x-2|<tfracvarepsilon2, de modo que
l|x^2 -3x +1 -(-1)r| = |x-1|;|x-2| < 2,|x-2| < 2cdottfracvarepsilon2 = varepsilon
Isso prova, pela definição, que limxto2(x^2 -3x +1)=-1.

Resposta

Foi demonstrado que, para todo varepsilon>0, existe de<a=min(1,varepsilon/2) tal que 0<|x-2|<de<a implica
l|x^2-3x+1 -(-1)r|<varepsilon. Portanto
limxto2l(x^2 -3x +1r) = -1

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