Use a definição de limite para provar que
Passo 1
Resumindo, queremos provar por definição que
Isto significa mostrar que, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
Passo 2
Calculemos a diferença ao limite:
Passo 3
Para controlar
|x-1| usamos que, se restringirmos
|x-2|<1 , então
Logo, sempre que
|x-2|<1 teremos
Passo 4
Agora, dado um
varepsilon>0 , queremos
2,|x-2|<varepsilon . Basta exigir
Para também garantir
|x-2|<1 escolhemos
Passo 5
Concluímos que, se
0<|x-2|<de<a , então simultaneamente
|x-2|<1 e
|x-2|<tfracvarepsilon2 , de modo que
Isso prova, pela definição, que
limxto2(x^2 -3x +1)=-1 .
Resposta
Foi demonstrado que, para todo
varepsilon>0 , existe
de<a=min(1,varepsilon/2) tal que
0<|x-2|<de<a implica
l|x^2-3x+1 -(-1)r|<varepsilon . Portanto