Calcule
lim h 0 f(4+h)-f(4)h, f(x)=1x^2+4

Passo 1

Vamos calcular o limite limh 0 f(4+h)-f(4)h, onde f(x) = 1x^2+4. Esse exercício está no ramo de Cálculo Diferencial, especificamente tratando da definição de derivada. Para resolver, vamos usar a definição de derivada de uma função em um ponto.

Passo 2

Primeiro, substituímos f(4+h) e f(4) na expressão do limite:
f(4+h)-f(4)h = 1(4+h)^2+4 - 14^2+4h

Passo 3

Vamos calcular f(4+h) e f(4) individualmente:
f(4+h) = 1(4+h)^2 + 4 = 116 + 8h + h^2 + 4 = 120 + 8h + h^2
f(4) = 14^2 + 4 = 116 + 4 = 120

Passo 4

Substituindo de volta na expressão do limite:
120 + 8h + h^2 - 120h
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum:
20 - (20 + 8h + h^2)20(20 + 8h + h^2) cdot 1h = -8h - h^220(20 + 8h + h^2) cdot h

Passo 5

Podemos fatorar h no numerador:
-h(8 + h)20h(20 + 8h + h^2) = -(8 + h)20(20 + 8h + h^2)

Passo 6

Agora, tiramos o limite quando h 0:
limh to 0 -(8 + h)20(20 + 8h + h^2) = -(8 + 0)20(20 + 0 + 0) = -8400 = -150

Resposta

O limite é -150.

Exercícios relacionados