Calcule:
(a) lim x 3^+ 53-x
(b) lim x 3^- 4x-3
© lim x 12^+ 42 x-1
(d) lim x 0^+ 2 x+1x
(e) $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x-3}{x^{2}}
(f) lim x 0^- x-3x^2 (f)
(g) (g)
(h) (h)
(i) (i)
(j) (j)
(k) (k)
(l) (l)
(m) (m)
(n) (n)

Passo 1

Vamos resolver uma série de limites envolvendo funções racionais e trigonométricas. Vamos precisar entender como analisar o comportamento das funções quando a variável se aproxima de certos valores, tanto pela direita ( x a^+) quanto pela esquerda ( x a^-). Para isso, vamos utilizar conceitos de limites laterais e propriedades das funções.

Passo 2

Letra (a)

Calcule lim x 3^+ 53-x.
Primeiro, observamos que estamos calculando o limite da função 53-x quando x se aproxima de 3 pela direita.

Passo 3

Quando x se aproxima de 3 pela direita, isso significa que x é um pouco maior que 3. Então, 3 - x será um número negativo muito próximo de zero. Portanto, 53-x será uma fração com denominador negativo e muito pequeno, o que faz com que o valor da função tende a -infty.

Passo 4

Letra (b)

Calcule lim x 3^- 4x-3.
Aqui, estamos calculando o limite da função 4x-3 quando x se aproxima de 3 pela esquerda.

Passo 5

Quando x se aproxima de 3 pela esquerda, x é um pouco menor que 3. Assim, x - 3 será um número negativo próximo de zero. A fração 4x-3 terá um denominador negativo muito pequeno, fazendo com que o valor da função tenda a -infty.

Passo 6

Letra ©

Calcule lim x 12^+ 42x-1.
Estamos buscando o limite da função 42x-1 quando x se aproxima de 12 pela direita.

Passo 7

Quando x se aproxima de 12 pela direita, x > 12. Então, 2x - 1 será um número positivo muito pequeno. A fração 42x-1 terá um denominador positivo próximo de zero, resultando em um valor que tende a +infty.

Passo 8

Letra (d)

Calcule lim x 0^+ 2x+1x.
Estamos analisando o limite da função 2x+1x quando x se aproxima de 0 pela direita.

Passo 9

À medida que x se aproxima de 0 pela direita, o denominador x se aproxima de 0 positivo. O numerador 2x + 1 se aproxima de 1. Portanto, a fração 2x+1x tende a 10^+, que é +infty.

Passo 10

Letra (e)

Calcule lim x 0^- x-3x^2.
Vamos calcular o limite da função x-3x^2 quando x se aproxima de 0 pela esquerda.

Passo 11

Quando x se aproxima de 0 pela esquerda, x é negativo. O denominador x^2 é sempre positivo e tende a 0. O numerador x - 3 se aproxima de -3. Portanto, a fração x-3x^2 se aproxima de -30^+, o que tende a -infty.

Passo 12

Letra (f)

Calcule lim x 0^+ 3x^2-x.
Estamos vendo o limite da função 3x^2-x quando x se aproxima de 0 pela direita.

Passo 13

Quando x se aproxima de 0 pela direita, x^2 tende a 0 e -x tende a 0 também. Portanto, o denominador x^2 - x se aproxima de 0 - 0 = 0. Vamos analisar o sinal:
Para x próximo de 0 e positivo:
x^2 é positivo pequeno
-x é negativo
Portanto, x^2 - x é negativo próximo de zero.
Assim, 3x^2-x tende a 30^- = -infty.

Passo 14

Letra (g)

Calcule lim x 0^- 3x^2-x.
Vamos calcular o limite da função 3x^2-x quando x se aproxima de 0 pela esquerda.

Passo 15

Quando x se aproxima de 0 pela esquerda, x é negativo. Assim, x^2 é positivo e pequeno, e -x é positivo. Portanto, x^2 - x é positivo próximo de zero.
Logo, 3x^2-x tende a 30^+ = +infty.

Passo 16

Letra (h)

Calcule lim x 1^- 2x+3x^2-1.
Estamos analisando o limite da função 2x+3x^2-1 quando x se aproxima de 1 pela esquerda.

Passo 17

Primeiro, fatoramos o denominador: x^2-1 = (x-1)(x+1). Quando x se aproxima de 1 pela esquerda, x - 1 é negativo e próximo de zero, e x + 1 é positivo (aproxima-se de 2).
O numerador 2x + 3 se aproxima de 5. Portanto, a fração se comporta como 5(0^-)(2) = 50^- = -infty.

Passo 18

Letra (i)

Calcule lim x 1^+ 2x+3x^2-1.
Vamos calcular o limite da função 2x+3x^2-1 quando x se aproxima de 1 pela direita.

Passo 19

Como no item anterior, x^2 - 1 = (x-1)(x+1). Quando x se aproxima de 1 pela direita, x - 1 é positivo e próximo de zero, e x + 1 é próximo de 2.
O numerador 2x + 3 se aproxima de 5. Portanto, a fração se comporta como 5(0^+)(2) = 50^+ = +infty.

Passo 20

Letra (j)

Calcule lim x -1^+ 2x+1x^2+x.
Estamos analisando o limite da função 2x+1x^2+x quando x se aproxima de -1 pela direita.

Passo 21

Vamos fatorar o denominador: x^2 + x = x(x + 1). Quando x -1^+, x está um pouco maior que -1, então x + 1 é positivo e próximo de zero, e x é negativo (próximo de -1).
O numerador 2x + 1 se aproxima de -1. Portanto, a fração se comporta como -1(-1)(0^+) = -10^- = +infty.

Passo 22

Letra (k)

Calcule lim x 0^+ 2x+1x^2+x.
Vamos calcular o limite da função 2x+1x^2+x quando x se aproxima de 0 pela direita.

Passo 23

O denominador x^2 + x se aproxima de 0, já que ambos os termos tendem a 0 quando x 0^+. O numerador 2x + 1 se aproxima de 1.
Além disso, para x > 0, o denominador x^2 + x é positivo e muito pequeno. Portanto, a fração tende a 10^+ = +infty.

Passo 24

Letra (l)

Calcule lim x 0^+ sen(x)x^3-x^2.
Estamos analisando o limite da função sen(x)x^3-x^2 quando x se aproxima de 0 pela direita.

Passo 25

Primeiro, observamos que sen(x) approx x quando x está próximo de 0. O denominador x^3 - x^2 = x^2(x - 1).
Quando x 0^+:
  • x approx 0^+
  • x - 1 approx -1
  • Então, x^2(x - 1) approx 0^+ times (-1) = 0^-
Portanto, a fração se comporta como x0^-, que tende a -infty.

Passo 26

Letra (m)

Calcule lim x 3^- 1|x-3|.
Vamos calcular o limite da função 1|x-3| quando x se aproxima de 3 pela esquerda.

Passo 27

A expressão |x - 3| representa a distância de x até 3. Quando x 3^-, x está um pouco menor que 3, então |x - 3| = 3 - x, que é positivo e tende a 0.
Portanto, a fração 1|x-3| tende a 10^+ = +infty.

Passo 28

Letra (n)

Calcule lim x 3^+ 1|x-3|.
Estamos analisando o limite da função 1|x-3| quando x se aproxima de 3 pela direita.

Passo 29

Quando x 3^+, x está um pouco maior que 3, então |x - 3| = x - 3, que é positivo e tende a 0.
Portanto, a fração 1|x-3| tende a 10^+ = +infty.

Resposta

(n) lim x 3^+ 1|x-3| = +infty

Exercícios relacionados