Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e) $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x-3}{x^{2}}
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(a)
(b)
©
(d)
(e) $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x-3}{x^{2}}
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
Passo 1
Vamos resolver uma série de limites envolvendo funções racionais e trigonométricas. Vamos precisar entender como analisar o comportamento das funções quando a variável se aproxima de certos valores, tanto pela direita (
) quanto pela esquerda (
). Para isso, vamos utilizar conceitos de limites laterais e propriedades das funções.
Passo 2
Letra (a)
Calcule
.
Primeiro, observamos que estamos calculando o limite da função
quando
se aproxima de 3 pela direita.
Passo 3
Quando
se aproxima de 3 pela direita, isso significa que
é um pouco maior que 3. Então,
será um número negativo muito próximo de zero. Portanto,
será uma fração com denominador negativo e muito pequeno, o que faz com que o valor da função tende a
.
Passo 4
Letra (b)
Calcule
.
Aqui, estamos calculando o limite da função
quando
se aproxima de 3 pela esquerda.
Passo 5
Quando
se aproxima de 3 pela esquerda,
é um pouco menor que 3. Assim,
será um número negativo próximo de zero. A fração
terá um denominador negativo muito pequeno, fazendo com que o valor da função tenda a
.
Passo 6
Letra ©
Calcule
.
Estamos buscando o limite da função
quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 7
Quando
se aproxima de
pela direita,
. Então,
será um número positivo muito pequeno. A fração
terá um denominador positivo próximo de zero, resultando em um valor que tende a
.
Passo 8
Letra (d)
Calcule
.
Estamos analisando o limite da função
quando
se aproxima de 0 pela direita.
Passo 9
À medida que
se aproxima de 0 pela direita, o denominador
se aproxima de 0 positivo. O numerador
se aproxima de 1. Portanto, a fração
tende a
, que é
.
Passo 10
Letra (e)
Calcule
.
Vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de 0 pela esquerda.
Passo 11
Quando
se aproxima de 0 pela esquerda,
é negativo. O denominador
é sempre positivo e tende a 0. O numerador
se aproxima de
. Portanto, a fração
se aproxima de
, o que tende a
.
Passo 12
Letra (f)
Calcule
.
Estamos vendo o limite da função
quando
se aproxima de 0 pela direita.
Passo 13
Quando
se aproxima de 0 pela direita,
tende a 0 e
tende a 0 também. Portanto, o denominador
se aproxima de
. Vamos analisar o sinal:
Para
próximo de 0 e positivo:
é positivo pequeno
é negativo
Portanto, é negativo próximo de zero.
Portanto,
Assim,
tende a
.
Passo 14
Letra (g)
Calcule
.
Vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de 0 pela esquerda.
Passo 15
Quando
se aproxima de 0 pela esquerda,
é negativo. Assim,
é positivo e pequeno, e
é positivo. Portanto,
é positivo próximo de zero.
Logo,
tende a
.
Passo 16
Letra (h)
Calcule
.
Estamos analisando o limite da função
quando
se aproxima de 1 pela esquerda.
Passo 17
Primeiro, fatoramos o denominador:
. Quando
se aproxima de 1 pela esquerda,
é negativo e próximo de zero, e
é positivo (aproxima-se de 2).
O numerador
se aproxima de
. Portanto, a fração se comporta como
.
Passo 18
Letra (i)
Calcule
.
Vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de 1 pela direita.
Passo 19
Como no item anterior,
. Quando
se aproxima de 1 pela direita,
é positivo e próximo de zero, e
é próximo de 2.
O numerador
se aproxima de 5. Portanto, a fração se comporta como
.
Passo 20
Letra (j)
Calcule
.
Estamos analisando o limite da função
quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 21
Vamos fatorar o denominador:
. Quando
,
está um pouco maior que
, então
é positivo e próximo de zero, e
é negativo (próximo de
).
O numerador
se aproxima de
. Portanto, a fração se comporta como
.
Passo 22
Letra (k)
Calcule
.
Vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de 0 pela direita.
Passo 23
O denominador
se aproxima de 0, já que ambos os termos tendem a 0 quando
. O numerador
se aproxima de 1.
Além disso, para
, o denominador
é positivo e muito pequeno. Portanto, a fração tende a
.
Passo 24
Letra (l)
Calcule
.
Estamos analisando o limite da função
quando
se aproxima de 0 pela direita.
Passo 25
Primeiro, observamos que
quando
está próximo de 0. O denominador
.
Quando
:
-
-
- Então,
Portanto, a fração se comporta como
, que tende a
.
Passo 26
Letra (m)
Calcule
.
Vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de 3 pela esquerda.
Passo 27
A expressão
representa a distância de
até 3. Quando
,
está um pouco menor que 3, então
, que é positivo e tende a 0.
Portanto, a fração
tende a
.
Passo 28
Letra (n)
Calcule
.
Estamos analisando o limite da função
quando
se aproxima de 3 pela direita.
Passo 29
Quando
,
está um pouco maior que 3, então
, que é positivo e tende a 0.
Portanto, a fração
tende a
.
Resposta
(n)