Determinar o domínio das seguintes funções e representar graficamente.
j) f(x, y) = ln(4*x^2 - y^2 - 8*x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função . Aqui, estamos trabalhando com funções matemáticas que envolvem logaritmos naturais. Para achar o domínio, precisamos descobrir todos os valores de e que tornam a expressão dentro do logaritmo positiva, já que o logaritmo natural só aceita números maiores que zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para a função ser definida, o argumento precisa ser maior que zero:
Então, nosso objetivo é resolver a desigualdade para encontrar as combinações de e que satisfazem essa condição.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão . Podemos reescrever isso rearranjando os termos:
Agora, para facilitar, vamos completar o quadrado para os termos de :

Passo 4

Agora, dividimos ambos os lados da desigualdade por 4 para simplificar:
Esta é a equação de uma hipérbole padrão. O domínio consiste em todos os pontos que estão fora dessa hipérbole, já que a desigualdade é maior que 1.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem . Geometricamente, isso corresponde a todos os pontos que estão fora da hipérbole definida por .

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