Determinar o domínio das seguintes funções e representar graficamente.
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções matemáticas que envolvem logaritmos naturais. Para achar o domínio, precisamos descobrir todos os valores de
e
que tornam a expressão dentro do logaritmo positiva, já que o logaritmo natural só aceita números maiores que zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para a função
ser definida, o argumento
precisa ser maior que zero:
Então, nosso objetivo é resolver a desigualdade
para encontrar as combinações de
e
que satisfazem essa condição.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
. Podemos reescrever isso rearranjando os termos:
Agora, para facilitar, vamos completar o quadrado para os termos de
:
Passo 4
Agora, dividimos ambos os lados da desigualdade por 4 para simplificar:
Esta é a equação de uma hipérbole padrão. O domínio consiste em todos os pontos
que estão fora dessa hipérbole, já que a desigualdade é maior que 1.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem
. Geometricamente, isso corresponde a todos os pontos que estão fora da hipérbole definida por
.