S-3.24 Qual é o maior número de inteiros positivos consecutivos livres de quadrados? E livres de cubos? Generalize.
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o maior número de inteiros positivos consecutivos que são livres de quadrados (isto é, não divisíveis por nenhum
com
primo), e em seguida o mesmo para livres de cubos (
), pedindo depois uma generalização para “livres de
-ésimas potências”. Vamos usar o fato de que, em qualquer bloco de
inteiros consecutivos, um deles é múltiplo de
sempre que
.
Passo 2
Para ver o caso “livres de quadrados”, note que o menor primo é
, e
. Em qualquer sequência de
inteiros consecutivos, um deles é congruente a
, logo é divisível por
e não é livre de quadrados.
Isso mostra que não existem inteiros consecutivos todos livres de quadrados. Por outro lado, os
primeiros inteiros
Isso mostra que não existem
são todos livres de quadrados. Logo o máximo de consecutivos é
.
Passo 3
Agora, para “livres de cubos”, o menor primo continua sendo
, e
. Em qualquer sequência de
inteiros consecutivos um deles é múltiplo de
, portanto não livre de cubos. Já podemos encontrar
consecutivos livres de cubos, por exemplo
pois nenhum desses é divisível por
nem por
nem por qualquer outro cubo primo.
Passo 4
Generalizando para “livres de
-ésimas potências”: o menor primo é
, e
é a menor potência prima de expoente
. Não pode haver
inteiros consecutivos todos livres de
-ésimas potências, pois um deles seria múltiplo de
. Por outro lado, os primeiros
são todos livres de
-ésimas potências.
Resposta
– Máximo de consecutivos livres de quadrados:
.
– Máximo de consecutivos livres de cubos: .
– Em geral, para “livres de -ésimas potências”, o máximo de inteiros positivos consecutivos é
– Máximo de consecutivos livres de cubos:
– Em geral, para “livres de