S-3.24 Qual é o maior número de inteiros positivos consecutivos livres de quadrados? E livres de cubos? Generalize.

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o maior número de inteiros positivos consecutivos que são livres de quadrados (isto é, não divisíveis por nenhum p^2 com p primo), e em seguida o mesmo para livres de cubos ( p^3), pedindo depois uma generalização para “livres de m-ésimas potências”. Vamos usar o fato de que, em qualquer bloco de N inteiros consecutivos, um deles é múltiplo de a sempre que N>= a.

Passo 2

Para ver o caso “livres de quadrados”, note que o menor primo é 2, e 2^2=4. Em qualquer sequência de 4 inteiros consecutivos, um deles é congruente a 0pmod4, logo é divisível por 4 e não é livre de quadrados.
Isso mostra que não existem 4 inteiros consecutivos todos livres de quadrados. Por outro lado, os 3 primeiros inteiros
1,2,3
são todos livres de quadrados. Logo o máximo de consecutivos é 3.

Passo 3

Agora, para “livres de cubos”, o menor primo continua sendo 2, e 2^3=8. Em qualquer sequência de 8 inteiros consecutivos um deles é múltiplo de 8, portanto não livre de cubos. Já podemos encontrar 7 consecutivos livres de cubos, por exemplo
1,2,3,4,5,6,7,
pois nenhum desses é divisível por 8 nem por 3^3=27 nem por qualquer outro cubo primo.

Passo 4

Generalizando para “livres de m-ésimas potências”: o menor primo é 2, e 2^m é a menor potência prima de expoente m. Não pode haver 2^m inteiros consecutivos todos livres de m-ésimas potências, pois um deles seria múltiplo de 2^m. Por outro lado, os primeiros
1,2,dots,2^m-1
são todos livres de m-ésimas potências.

Resposta

– Máximo de consecutivos livres de quadrados: 3.
– Máximo de consecutivos livres de cubos: 7.
– Em geral, para “livres de m-ésimas potências”, o máximo de inteiros positivos consecutivos é
2^m - 1

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