Calcule \lim \frac{n+1}{n+5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite (assumindo a notação usual de sequência): \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+5}.
Informações dadas:
  • A expressão é a sequência \left(\dfrac{n+1}{n+5}\right)_{n\in\mathbb{N}}.
  • O que se quer é o valor dessa expressão quando n cresce sem limite ( n\to\infty).

Passo 2

Ideia geral (sem ainda calcular): quando n fica muito grande, os termos constantes 1 e 5 tendem a ser irrelevantes frente a n. Uma forma sistemática de usar isso é dividir numerador e denominador por n para ver como a expressão se comporta quando n\to\infty.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por n (que é permitido para n\neq0, e no limite consideramos n grandes):
\frac{n+1}{n+5}=\frac{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}{\dfrac{n}{n}+\dfrac{5}{n}}=\frac{1+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{5}{n}}.
Agora analisa-se o comportamento de \dfrac{1}{n} e \dfrac{5}{n} quando n\to\infty.
Intuição: \dfrac{1}{n} fica cada vez menor quando n aumenta, e tende a 0.
Pequena prova formal: para todo \varepsilon>0 escolha N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil. Se n\ge N então
\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}\le\varepsilon.
Logo \dfrac{1}{n}\to0 quando n\to\infty. Pelo mesmo raciocínio \dfrac{5}{n}\to0.

Passo 4

Usando as propriedades de limites (se a_n\to a e b_n\to b com b\neq0 então \dfrac{a_n}{b_n}\to\dfrac{a}{b}), aplicamos aos numerador e denominador:
  • 1+\dfrac{1}{n}\to 1+0=1,
  • 1+\dfrac{5}{n}\to 1+0=1 (o denominador tende a 1, diferente de zero).
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{5}{n}}=\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Observação alternativa (regra rápida útil em provas): para razões de polinômios \dfrac{a_k n^k+\cdots}{b_m n^m+\cdots}, se os graus são iguais ( k=m) o limite quando n\to\infty é a razão dos coeficientes líderes a_k/b_m. Aqui ambos os graus são 1 e os coeficientes líderes são 1 e 1, então o limite é 1/1=1. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

1

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