O enunciado pede para calcular o seguinte limite (assumindo a notação usual de sequência): \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+5}.
Informações dadas:
A expressão é a sequência \left(\dfrac{n+1}{n+5}\right)_{n\in\mathbb{N}}.
O que se quer é o valor dessa expressão quando n cresce sem limite (n\to\infty).
Passo 2
Ideia geral (sem ainda calcular): quando n fica muito grande, os termos constantes 1 e 5 tendem a ser irrelevantes frente a n. Uma forma sistemática de usar isso é dividir numerador e denominador por n para ver como a expressão se comporta quando n\to\infty.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por n (que é permitido para n\neq0, e no limite consideramos n grandes):
Agora analisa-se o comportamento de \dfrac{1}{n} e \dfrac{5}{n} quando n\to\infty.
Intuição: \dfrac{1}{n} fica cada vez menor quando n aumenta, e tende a 0.
Pequena prova formal: para todo \varepsilon>0 escolha N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil. Se n\ge N então
Observação alternativa (regra rápida útil em provas): para razões de polinômios \dfrac{a_k n^k+\cdots}{b_m n^m+\cdots}, se os graus são iguais (k=m) o limite quando n\to\infty é a razão dos coeficientes líderes a_k/b_m. Aqui ambos os graus são 1 e os coeficientes líderes são 1 e 1, então o limite é 1/1=1. Isso confirma o resultado anterior.