Nos problemas de 11 a 14, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
13. e^a t sen b t

Passo 1

A questão pede pra encontrar a transformada de Laplace da função f(t)=e^{a t}·sen(bt). O assunto é transformada de Laplace e vamos usar tanto a definição quanto o teorema de deslocamento em s.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a transformada de Laplace de sen(bt) é dada por
Lsin(bt)(s)=integral0^inftye^-stsin(bt),dt=bs^2+b^2

Passo 3

Depois usamos o teorema de deslocamento em s: se G(s)=Lg(t)(s), então
Le^a tg(t)(s)=G(s-a)
Aqui g(t)=sin(bt) e G(s)=b/(s^2+b^2). Substituindo s por s-a em G(s), temos
Le^a tsin(bt)(s)=b(s-a)^2+b^2

Resposta

b(s-a)^2+b^2

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