Dado o campo vetorial F(x, y)=(x^2, y^2) e uma curva C dada pelo arco de parábola y=2 x^2 para x entre 2 e 3 .
Calcule diretamente integralC F(x, y) cdot d r;

Passo 1

O enunciado dá um campo vetorial
F(x,y) = (x^2, y^2)
e uma curva C definida pelo arco da parábola y = 2x^2 para x indo de 2 a 3.
Queremos calcular a integral de linha
integralC F(x,y) cdot dr,
ou seja, o trabalho do campo ao longo de C.

Passo 2

Para usar a definição de integral de linha, parametricemos C por
vec r(t) = l(t,;2t^2r), tin[2,3]
Então
dvec r = vec r,'(t),dt = l(1,;4tr),dt

Passo 3

Substituímos na integral:
Fl(vec r(t)r) = l(t^2,;(2t^2)^2r) = l(t^2,;4t^4r)
O produto escalar é
Fl(vec r(t)r)cdot vec r,'(t) = t^2cdot1 ;+;4t^4cdot4t = t^2 + 16t^5

Passo 4

Logo a integral vira
integralCFcdot dvec r = integral2^3l(t^2 +16t^5r),dt
Calculando a primitiva:
integrall(t^2 +16t^5r),dt = t^33 + 16t^66 = t^33 + 8t^63
Avalia-se entre 2 e 3:
(3^33 + 8cdot3^63) -(2^33 + 8cdot2^63) = 27 + 8cdot7293 - 8 + 8cdot643 = 5859 - 5203 = 53393

Resposta

integralCF(x,y)cdot dvec r = 53393

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