Calcule \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} sendo f a função dada nos itens abaixo:
f(x)=2 x^{2}+x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
onde a função dada é f(x)=2x^{2}+x.\n
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=2x^{2}+x.\n
  • A expressão a calcular é a razão de diferenças \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} no limite h\to0.\n
    O que é pedido: encontrar o valor desse limite em termos de x.

Passo 2

O que essa expressão representa (intuição): \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a taxa média de variação de f no intervalo de comprimento h a partir do ponto x. Quando fazemos h\to0, estamos pegando a taxa instantânea de variação em x, ou seja, a derivada de f em x.\n
Estratégia prática: calcular f(x+h), subtrair f(x), dividir por h e então fazer h\to0. Vou desenvolver cada passo algébrico com calma para você poder reproduzir na prova.

Passo 3

Calcular f(x+h). Substitui x+h na fórmula de f:
f(x+h)=2(x+h)^{2}+(x+h).
Agora expandir (x+h)^{2}:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Logo,
f(x+h)=2\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)+(x+h).

Passo 4

Continuando a simplificação de f(x+h):
f(x+h)=2x^{2}+4xh+2h^{2}+x+h.
Agora escrevemos f(x) para subtrair:
f(x)=2x^{2}+x.
Então o numerador da razão é
f(x+h)-f(x)=(2x^{2}+4xh+2h^{2}+x+h)-(2x^{2}+x).

Passo 5

Fazer as cancelas no numerador:
f(x+h)-f(x)=4xh+2h^{2}+h.
Agora dividir por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{4xh+2h^{2}+h}{h}.
Colocar h em evidência ou dividir termo a termo:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=4x+2h+1.

Passo 6

Tomar o limite quando h\to0. A expressão 4x+2h+1 é contínua em h, então podemos simplesmente substituir h=0:
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}(4x+2h+1)=4x+1.
Interpretação: o resultado 4x+1 é a derivada de f em x, ou seja, a taxa instantânea de variação de f no ponto x. Vai bem lembrar disso na prova.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar: se x=1, então a derivada vale
4\cdot 1+1=5.
Ou seja, a taxa de variação de f em x=1 é 5 — geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em x=1 é 5.

Passo 8

Atalho (regra prática que surge desse procedimento): para polinômios dá para aplicar a regra de potência: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando aqui:
  • derivada de 2x^{2} é 2\cdot 2x^{1}=4x,
  • derivada de x é 1.
    Somando dá 4x+1, mesmo resultado obtido pelo limite. Use o método algébrico mostrado se a prova pedir demonstrar pelo limite.

Resposta

4x+1

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