Calcule
sendo
a função dada nos itens abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde a função dada é
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
.\n - A expressão a calcular é a razão de diferenças
no limite .\n
O que é pedido: encontrar o valor desse limite em termos de.
Passo 2
O que essa expressão representa (intuição):
é a taxa média de variação de
no intervalo de comprimento
a partir do ponto
. Quando fazemos
, estamos pegando a taxa instantânea de variação em
, ou seja, a derivada de
em
.\n
Estratégia prática: calcular , subtrair
, dividir por
e então fazer
. Vou desenvolver cada passo algébrico com calma para você poder reproduzir na prova.
Estratégia prática: calcular
Passo 3
Calcular
. Substitui
na fórmula de
:
Agora expandir
:
Logo,
Passo 4
Continuando a simplificação de
:
Agora escrevemos
para subtrair:
Então o numerador da razão é
Passo 5
Fazer as cancelas no numerador:
Agora dividir por
:
Colocar
em evidência ou dividir termo a termo:
Passo 6
Tomar o limite quando
. A expressão
é contínua em
, então podemos simplesmente substituir
:
Interpretação: o resultado
é a derivada de
em
, ou seja, a taxa instantânea de variação de
no ponto
. Vai bem lembrar disso na prova.
Passo 7
Exemplo numérico para fixar: se
, então a derivada vale
Ou seja, a taxa de variação de
em
é
— geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
é
.
Passo 8
Atalho (regra prática que surge desse procedimento): para polinômios dá para aplicar a regra de potência: a derivada de
é
. Aplicando aqui:
- derivada de
é , - derivada de
é .
Somando dá, mesmo resultado obtido pelo limite. Use o método algébrico mostrado se a prova pedir demonstrar pelo limite.