Temos que
e que para achar os seus pontos críticos, precisamos encontrar os valores
tal que
. Basta, entāo, aplicar a fórmula de Bhaskara a
, que é um polinômic de segundo grau que obteremos a fórmula demandada.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Foi dada a derivada
. - O pedido é encontrar os pontos críticos de
, ou seja, os valores de tais que .
Informações relevantes a listar:
-
são constantes (podem ser reais, possivelmente zero). - Precisamos resolver a equação
, que é uma equação polinomial de grau até 2 em .
Passo 2
Estratégia geral e ferramenta básica (fórmula de Bhaskara):
- Para resolver uma equação quadrática genérica
, usa-se a fórmula
onde
,
e
são os coeficientes da equação e o termo dentro da raiz
é o discriminante. O discriminante diz:
- se
: duas raízes reais distintas; - se
: uma raiz real dupla (duas iguais); - se
: raízes complexas (nenhuma raiz real).
Vou aplicar isso a
. Antes, sempre verifique se o coeficiente do termo quadrático é zero (caso degenerado).
Passo 3
Identificar
,
,
em
e calcular o discriminante:
- Comparando, temos
- O discriminante é
Passo 4
Aplicar a fórmula de Bhaskara e simplificar (caso padrão
):
- Usando a fórmula,
- Extraindo o fator
da raiz e simplificando:
portanto
- Interpretação do discriminante para estes pontos críticos:
- Se
então há duas posições críticas reais e distintas. - Se
então há uma posição crítica real dupla . - Se
então não há pontos críticos reais (as soluções são complexas).
- Se
Obs.: todas as simplificações acima pressupõem
(para que
).
Passo 5
Casos degenerados a tratar na prova (muito importante: verifique antes se
):
- Se
então é linear. - Se
então a solução é única:
- Se
então é constante: - Se
então e todo é ponto crítico (infinitos pontos críticos). - Se
então nunca é zero e não há ponto crítico.
- Se
- Se
Passo 6
Um exemplo numérico para fixar a ideia:
- Tome
, , . Então . - Aplicando a fórmula simplificada,
- Ou seja, dois pontos críticos reais em
.
Passo 7
Resumo prático (o que você deve fazer rápido na prova):
- Olhe para
. - Verifique se
. Se sim, trate o caso linear como explicado no Passo 5. - Se
, compute o discriminante . - Use a fórmula final
. Interprete o sinal do discriminante para saber quantos pontos críticos reais existem. - Anote os pontos críticos e, se necessário, classifique-os (mínimo, máximo, ponto de sela) usando segunda derivada ou outro critério.
Você já consegue aplicar isso rapidinho: identificar coeficientes, checar
, calcular o discriminante e usar a fórmula. Força aí — dá pra arrancar esses exercícios na prova!
Resposta
Se
Se