Temos que p^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x+c e que para achar os seus pontos críticos, precisamos encontrar os valores x tal que p^{\prime}(x)=0. Basta, entāo, aplicar a fórmula de Bhaskara a p^{\prime}(x), que é um polinômic de segundo grau que obteremos a fórmula demandada.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dada a derivada p'(x)=3a x^{2}+2b x+c.
  • O pedido é encontrar os pontos críticos de p, ou seja, os valores de x tais que p'(x)=0.
Informações relevantes a listar:
  • a,b,c são constantes (podem ser reais, possivelmente zero).
  • Precisamos resolver a equação p'(x)=0, que é uma equação polinomial de grau até 2 em x.

Passo 2

Estratégia geral e ferramenta básica (fórmula de Bhaskara):
  • Para resolver uma equação quadrática genérica \,A x^{2}+B x+C=0, usa-se a fórmula
x=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A},
onde A, B e C são os coeficientes da equação e o termo dentro da raiz
\Delta = B^{2}-4AC
é o discriminante. O discriminante diz:
  • se \Delta>0: duas raízes reais distintas;
  • se \Delta=0: uma raiz real dupla (duas iguais);
  • se \Delta<0: raízes complexas (nenhuma raiz real).
Vou aplicar isso a p'(x). Antes, sempre verifique se o coeficiente do termo quadrático é zero (caso degenerado).

Passo 3

Identificar A, B, C em p'(x) e calcular o discriminante:
  • Comparando, temos A = 3a,\qquad B = 2b,\qquad C = c.
  • O discriminante é \Delta = B^{2}-4AC = (2b)^{2}-4(3a)\text{(c)}=4b^{2}-12ac.

Passo 4

Aplicar a fórmula de Bhaskara e simplificar (caso padrão a\neq0):
  • Usando a fórmula,
x=\frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A}=\frac{-2b\pm\sqrt{4b^{2}-12ac}}{2\cdot 3a}=\frac{-2b\pm\sqrt{4\bigl(b^{2}-3ac\bigr)}}{6a}.
  • Extraindo o fator 2 da raiz e simplificando:
\sqrt{4\bigl(b^{2}-3ac\bigr)}=2\sqrt{b^{2}-3ac},
portanto
x=\frac{-2b\pm 2\sqrt{b^{2}-3ac}}{6a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-3ac}}{3a}.
  • Interpretação do discriminante para estes pontos críticos:
    • Se \,b^{2}-3ac>0 então há duas posições críticas reais e distintas.
    • Se \,b^{2}-3ac=0 então há uma posição crítica real dupla x=-\dfrac{b}{3a}.
    • Se \,b^{2}-3ac<0 então não há pontos críticos reais (as soluções são complexas).
Obs.: todas as simplificações acima pressupõem a\neq0 (para que 3a\neq0).

Passo 5

Casos degenerados a tratar na prova (muito importante: verifique antes se a=0):
  • Se a=0 então p'(x)=2b x+c é linear.
    • Se b\neq0 então a solução é única:
    2b x+c=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{c}{2b}.
    • Se b=0 então p'(x)=c é constante:
      • Se c=0 então p'(x)\equiv 0 e todo x é ponto crítico (infinitos pontos críticos).
      • Se c\neq0 então p'(x) nunca é zero e não há ponto crítico.

Passo 6

Um exemplo numérico para fixar a ideia:
  • Tome a=1, b=0, c=-1. Então p'(x)=3x^{2}-1.
  • Aplicando a fórmula simplificada,
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-3ac}}{3a}=\frac{0\pm\sqrt{0-3\cdot1\cdot(-1)}}{3\cdot1}=\frac{\pm\sqrt{3}}{3}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Ou seja, dois pontos críticos reais em x=\pm 1/\sqrt{3}.

Passo 7

Resumo prático (o que você deve fazer rápido na prova):
  1. Olhe para p'(x)=3a x^{2}+2b x+c.
  2. Verifique se a=0. Se sim, trate o caso linear como explicado no Passo 5.
  3. Se a\neq0, compute o discriminante \,b^{2}-3ac.
  4. Use a fórmula final x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-3ac}}{3a}. Interprete o sinal do discriminante para saber quantos pontos críticos reais existem.
  5. Anote os pontos críticos e, se necessário, classifique-os (mínimo, máximo, ponto de sela) usando segunda derivada ou outro critério.
Você já consegue aplicar isso rapidinho: identificar coeficientes, checar a, calcular o discriminante e usar a fórmula. Força aí — dá pra arrancar esses exercícios na prova!

Resposta

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-3ac}}{3a} (quando a\neq0)
Se a=0 e b\neq0: x=-\dfrac{c}{2b}
Se a=0, b=0 e c=0: todo x é ponto crítico; se a=0, b=0 e c\neq0: não há ponto crítico.

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