Encontre as assíntotas verticais da função
dada por:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para encontrar as assíntotas verticais. Informações dadas e o que é pedido:
- A função é uma razão de polinômios (fração racional).
- Assíntota vertical é um valor de
onde a função não está definida e onde tende a ou quando se aproxima desse valor por pelo menos um dos lados. - Objetivo: achar todos os
tais que a função tem assíntota vertical.
Passo 2
Lembrete didático (como identificar assíntota vertical em frações racionais):
- Primeiro passo prático: achar os pontos onde o denominador é zero, pois aí a função fica indefinida.
- Segundo passo: verificar se o numerador também zera nesses pontos. Se numerador e denominador têm um fator comum que zera, pode haver uma descontinuidade removível (buraco), não necessariamente uma assíntota vertical.
- Terceiro passo: se o denominador zera mas o numerador não zera (ou não cancela totalmente o fator), a função costuma divergir para
ou ao se aproximar do ponto — isso caracteriza uma assíntota vertical. Para confirmar, avalia-se os limites laterais.
Passo 3
Calcular onde o denominador é zero. Escrevendo o denominador em fatorado:
Os zeros do denominador são as soluções de
, ou seja:
Portanto a função não está definida em
e
.
Passo 4
Verificar o numerador nesses pontos para ver se há cancelamento:
- Em
: , que é diferente de zero. - Em
: , que também é diferente de zero.
Como o numerador não zera em nenhum desses pontos, não há cancelamento de fatores. Isso já indica forte suspeita de assíntotas verticais em
e
. Agora confirmamos calculando os limites laterais.
Passo 5
Limites ao redor de
.
Para
muito próximo de
, o denominador comporta-se como
(termo dominante), enquanto o numerador tende para
. Portanto
Logo:
Portanto a função diverge quando
se aproxima de
, confirmando uma assíntota vertical em
.
Passo 6
Limites ao redor de
.
Observe que
portanto o denominador pode ser escrito como
Para
próximo de
, o fator
é positivo (aproximadamente
), e o comportamento crítico vem de
que tende a
. Como o numerador tende para
, podemos aproximar
Assim os limites laterais são:
Portanto a função diverge quando
se aproxima de
, confirmando uma assíntota vertical em
.
Passo 7
Conclusão: ambos os pontos onde o denominador é zero e o numerador não é zero geram comportamentos de divergência para infinito nas proximidades, logo são assíntotas verticais.