Encontre as assíntotas verticais da função f(x) dada por:
f(x)=\frac{x^{2}+1}{3 x-2 x^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=\frac{x^{2}+1}{3x-2x^{2}}
e pede para encontrar as assíntotas verticais. Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é uma razão de polinômios (fração racional).
  • Assíntota vertical é um valor de x onde a função não está definida e onde f(x) tende a +\infty ou -\infty quando x se aproxima desse valor por pelo menos um dos lados.
  • Objetivo: achar todos os x tais que a função tem assíntota vertical.

Passo 2

Lembrete didático (como identificar assíntota vertical em frações racionais):
  • Primeiro passo prático: achar os pontos onde o denominador é zero, pois aí a função fica indefinida.
  • Segundo passo: verificar se o numerador também zera nesses pontos. Se numerador e denominador têm um fator comum que zera, pode haver uma descontinuidade removível (buraco), não necessariamente uma assíntota vertical.
  • Terceiro passo: se o denominador zera mas o numerador não zera (ou não cancela totalmente o fator), a função costuma divergir para +\infty ou -\infty ao se aproximar do ponto — isso caracteriza uma assíntota vertical. Para confirmar, avalia-se os limites laterais.

Passo 3

Calcular onde o denominador é zero. Escrevendo o denominador em fatorado:
3x-2x^{2}=x(3-2x).
Os zeros do denominador são as soluções de x(3-2x)=0, ou seja:
x=0 \quad\text{ou}\quad 3-2x=0 \Rightarrow x=\tfrac{3}{2}.
Portanto a função não está definida em x=0 e x=\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Verificar o numerador nesses pontos para ver se há cancelamento:
  • Em x=0: x^{2}+1 = 0^{2}+1 = 1, que é diferente de zero.
  • Em x=\tfrac{3}{2}: x^{2}+1 = \left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}+1=\tfrac{9}{4}+1=\tfrac{13}{4}, que também é diferente de zero.
Como o numerador não zera em nenhum desses pontos, não há cancelamento de fatores. Isso já indica forte suspeita de assíntotas verticais em x=0 e x=\tfrac{3}{2}. Agora confirmamos calculando os limites laterais.

Passo 5

Limites ao redor de x=0.
Para x muito próximo de 0, o denominador comporta-se como 3x-2x^{2}\approx 3x (termo dominante), enquanto o numerador tende para 1. Portanto
f(x)=\frac{x^{2}+1}{3x-2x^{2}}\approx\frac{1}{3x}.
Logo:
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-\infty.
Portanto a função diverge quando x se aproxima de 0, confirmando uma assíntota vertical em x=0.

Passo 6

Limites ao redor de x=\tfrac{3}{2}.
Observe que
3-2x = -2\left(x-\tfrac{3}{2}\right),
portanto o denominador pode ser escrito como
3x-2x^{2}=x(3-2x)=-2x\left(x-\tfrac{3}{2}\right).
Para x próximo de \tfrac{3}{2}, o fator x é positivo (aproximadamente \tfrac{3}{2}), e o comportamento crítico vem de \left(x-\tfrac{3}{2}\right) que tende a 0. Como o numerador tende para \tfrac{13}{4}\neq 0, podemos aproximar
f(x)\approx\frac{\tfrac{13}{4}}{-2\left(\tfrac{3}{2}\right)\left(x-\tfrac{3}{2}\right)}=\frac{\tfrac{13}{4}}{-3\left(x-\tfrac{3}{2}\right)}=\frac{\text{constante não nula}}{x-\tfrac{3}{2}}.ã
Assim os limites laterais são:
\lim_{x\to \left(\tfrac{3}{2}\right)^{-}} f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to \left(\tfrac{3}{2}\right)^{+}} f(x)=-\infty.
Portanto a função diverge quando x se aproxima de \tfrac{3}{2}, confirmando uma assíntota vertical em x=\tfrac{3}{2}.

Passo 7

Conclusão: ambos os pontos onde o denominador é zero e o numerador não é zero geram comportamentos de divergência para infinito nas proximidades, logo são assíntotas verticais.

Resposta

x=0
x=\tfrac{3}{2}

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