Calcule:
(a) lim x +infty raizx
(c) lim x +infty x+raizx+32 x+1
(b) lim x +infty raizx+1x+3
(d) lim x +infty[2 x-raizx^2+3]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo dos limites quando xto+infty de quatro expressões diferentes:
  • raizx
  • dfracx+raizx+32x+1
  • dfracraizx+1x+3
  • 2x-raizx^2+3
O conteúdo aqui é limite no infinito, cuidando de comparar as taxas de crescimento (por exemplo, x cresce mais rápido que raizx) e usar técnicas como divisão pelo termo dominante ou racionalização quando aparecer a forma “ infty-infty”.

Passo 2

Cálculo de limxto+inftyraizx.
A raiz quadrada cresce sem parar à medida que x aumenta. Não há termo que a faça convergir, então
limxto+inftyraizx=+infty

Passo 3

Cálculo de limxto+inftyx+raizx+32x+1.
Dividimos numerador e denominador por x, o maior grau em x que aparece no denominador:
x+raizx+32x+1 =xl(1+raizx+3xr)xl(2+1xr) =1+raizx+3x2+1x
Note que
raizx+3x =1raizxraiz1+3x ;longrightarrow;0 quando xto+infty
Logo o limite fica
1+02+0=12

Passo 4

Cálculo de limxto+inftyraizx+1x+3.
Para x grande, raizx cresce muito mais devagar que x. Dividindo tudo por x
raizx+1x+3 =raizxx+1x1+3x =1raizx+1x1+3x,
e 1raizxto0, 1xto0. Portanto
limxto+inftyraizx+1x+3=0

Passo 5

Cálculo de limxto+inftyl(2x-raizx^2+3r).
Aqui temos a forma “ infty-infty”, então racionalizamos multiplicando por 2x+raizx^2+3:
2x-raizx^2+3 =(2x-raizx^2+3)(2x+raizx^2+3)2x+raizx^2+3 =4x^2-(x^2+3)2x+raizx^2+3 =3x^2-32x+raizx^2+3
Agora dividimos numerador e denominador por x:
3x^2-32x+raizx^2+3 =xl(3x-tfrac3xr)xl(2+raiz1+tfrac3x^2r) =3x-tfrac3x2+raiz1+tfrac3x^2
Quando xto+infty, o numerador to3x e o denominador to2+1=3, logo a fração cresce como x. Portanto
limxto+inftyl(2x-raizx^2+3r)=+infty

Resposta

(a) +infty
(b) 0
(c) tfrac12
(d) +infty

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