Calcule lim n infty an, em que a sequência ( an ) é dada por:
an=(1+(-1)^n)(n(1-n sen(1n))).

Passo 1

Resumindo o enunciado: a sequência
an=l(1+(-1)^nr)l(nl(1-nsin!l(tfrac1nr)r)r)
e queremos calcular limntoinftyan. O conteúdo aqui envolve limites de sequência e expansão de Taylor de sin x para xto0.

Passo 2

Usamos a expansão de Taylor de sin x em torno de zero:
sin x = x - x^36 + O(x^5)
Substituindo x=tfrac1n, vem
sin!l(tfrac1nr) = 1n - 16,n^3 + O!l(1n^5r)

Passo 3

Multiplicando por n e rearranjando:
n,sin!l(tfrac1nr) = 1 - 16,n^2 + O!l(1n^4r),
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1 - n,sin!l(tfrac1nr) = 16,n^2 + O!l(1n^4r),
e novamente multiplicando por n,
nl(1 - n,sin(tfrac1n)r) = 16,n + O!l(1n^3r)

Passo 4

O fator 1+(-1)^n vale 0 quando n é ímpar (logo an=0) e vale 2 quando n é par, em cujo caso
an =2l(16,n+O!l(tfrac1n^3r)r) =13,n+O!l(1n^3r)
Em ambas as paridades, conforme ntoinfty, anto0.

Resposta

0

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