Questão 2-(0,25) : Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função
y=e^x(tan x)^1 / x

Passo 1

O exercício pede pra usar derivação logarítmica na função
y = e^x(tan x)^1/x
Esse conteúdo é sobre derivadas, mas a sacada é “tirar o log” pra lidar bem com produto e potência. Vamos precisar de:
  • Propriedades de logaritmo: ln(ab)=ln a+ln b e ln(a^b)=bln a.
  • Regras de derivação: d(e^x)/dx, d(ln x)/dx, d(tan x)/dx.
  • Regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Beleza, vamos aplicar ln dos dois lados:
ln y = lnl(e^x(tan x)^1/xr)
Usando ln(ab)=ln a+ln b e ln(a^b)=bln a, fica:
ln y = ln(e^x) + lnl((tan x)^1/xr) = x + 1x,ln(tan x)
Show, a expressão ficou bem mais tranquila de derivar.

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x.
  • Lado esquerdo: dfracddx[ln y]=dfracy'y.
  • Lado direito: derivada de x + tfrac1xln(tan x).
A derivada de x é 1.
Para tfrac1xln(tan x), usamos regra do produto:
u(x)=1x, u'(x)=-1x^2; v(x)=ln(tan x), v'(x)=1tan xcdotsec^2 x = sec^2 xtan x

Passo 4

Calculando
ddx!l(tfrac1xln(tan x)r) = u'v + uv' = -1x^2ln(tan x) + 1x,sec^2 xtan x
Logo,
y'y = 1 - 1x^2ln(tan x) + 1x,sec^2 xtan x

Passo 5

Pra achar y', multiplica tudo por y:
y' = yl[,1 - 1x^2ln(tan x) + 1x,sec^2 xtan xr]
E lembre que y=e^x(tan x)^1/x, é só substituir.

Resposta

boxedy' = e^x(tan x)^1/xl[,1 - 1x^2ln(tan x) + 1x,sec^2 xtan xr]

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