Esta questão se dedica ao cálculo da derivada primeira de cada uma das funções listadas abaixo utilizando-se das 5 derivadas conhecidas, da linearidade da derivada, da regra do produto e da regra da cadeia.
dd x(cos (tan (ln (x)))),

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = cosl(tan(ln(x))r)
Isso envolve aplicação repetida da regra da cadeia, usando as derivadas conhecidas de cos(u), tan(v) e ln(x).

Passo 2

Identificamos a função externa como cos(u) com u = tan(ln(x)). Pela regra da cadeia,
f'(x) = -sinl(ur),ddxl[ur]
ou seja,
f'(x) = -sinl(tan(ln(x))r),ddxl[tan(ln(x))r]

Passo 3

Agora derivamos u(x)=tan(v) com v=ln(x). A derivada de tan(v) é sec^2(v) vezes v'. Então
ddxl[tan(ln(x))r] = sec^2l(ln(x)r),ddxl[ln(x)r]
Substituindo em f'(x),
f'(x) = -sinl(tan(ln(x))r),sec^2l(ln(x)r),ddxl[ln(x)r]

Passo 4

Por fim, usamos ddx[ln(x)] = tfrac1x. Assim
f'(x) = -sinl(tan(ln(x))r),sec^2l(ln(x)r),1x

Resposta

f'(x) = -sinl(tan(ln(x))r),sec^2l(ln(x)r)x

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