Esta questão se dedica ao cálculo da derivada primeira de cada uma das funções listadas abaixo utilizando-se das 5 derivadas conhecidas, da linearidade da derivada, da regra do produto e da regra da cadeia.
dd x(ln (1+x-x^2+x^3)),

Passo 1

O enunciado pede a derivada de lnl(1 + x - x^2 + x^3r). O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para logaritmo natural, mais a linearidade da derivada para calcular a derivada do polinômio interno.

Passo 2

Seja
u(x) = 1 + x - x^2 + x^3
Pela regra da cadeia,
ddxl[lnl(u(x)r)r] = u'(x)u(x)

Passo 3

Agora usamos a linearidade da derivada para obter u'(x):
ddx[1] = 0, ddx[x] = 1, ddx[-x^2] = -2x, ddx[x^3] = 3x^2
Somando tudo,
u'(x) = 1 - 2x + 3x^2

Passo 4

Substituindo em tfracu'(x)u(x), temos
ddxl[lnl(1 + x - x^2 + x^3r)r] = 1 - 2x + 3x^21 + x - x^2 + x^3

Resposta

ddxl[lnl(1 + x - x^2 + x^3r)r] = 1 - 2x + 3x^21 + x - x^2 + x^3

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