Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular o limite quando
tende ao infinito de
vezes uma soma dupla. A matéria envolvida aqui é análise de limites e somas duplas, e vamos precisar usar conceitos de somas de Riemann e aproximações por integrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão que estamos somando:
Aqui, temos uma soma dupla sobre
de 1 a
e
de 1 a
. Quando
cresce, tanto
quanto
são menores ou da mesma ordem que
, então o termo sob a raiz está sempre em torno de
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar:
Isso nos permite reescrever o termo da soma como:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na soma dupla original:
Passo 5
Para simplificar ainda mais, vamos considerar que, quando
é muito grande, podemos aproximar as somas duplas por integrais. Vamos definir:
Assim, quando
cresce,
varia de 0 a 1 e
de 0 a 1. As somas podem ser aproximadas por integrais duplas:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Calculemos cada parte separadamente:
Passo 8
Somando as duas partes:
Resposta
Portanto, o limite é: