Calcule lim n infty n^-2 sumi=1^n sumj=1^n^2 1raizn^2+n i+j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular o limite quando tende ao infinito de vezes uma soma dupla. A matéria envolvida aqui é análise de limites e somas duplas, e vamos precisar usar conceitos de somas de Riemann e aproximações por integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão que estamos somando:
1raizn^2 + n i + j
Aqui, temos uma soma dupla sobre de 1 a e de 1 a . Quando cresce, tanto quanto são menores ou da mesma ordem que , então o termo sob a raiz está sempre em torno de .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar:
n^2 + n i + j = n^2(1 + in + jn^2)
Isso nos permite reescrever o termo da soma como:
1raizn^2(1 + in + jn^2) = 1n raiz1 + in + jn^2

Passo 4

Agora, substituímos de volta na soma dupla original:
n^-2 sumi=1^n sumj=1^n^2 1raizn^2 + n i + j = n^-2 sumi=1^n sumj=1^n^2 1n raiz1 + in + jn^2 = n^-3 sumi=1^n sumj=1^n^2 1raiz1 + in + jn^2

Passo 5

Para simplificar ainda mais, vamos considerar que, quando x = in e y = jn^2 é muito grande, podemos aproximar as somas duplas por integrais. Vamos definir:
n^-3 sumi=1^n sumj=1^n^2 1raiz1 + x + y approx integral0^1 integral0^1 1raiz1 + x + y , dy , dx
Assim, quando cresce, varia de 0 a 1 e de 0 a 1. As somas podem ser aproximadas por integrais duplas:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral dupla:
integral0^1 integral0^1 1raiz1 + x + y , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integral0^1 1raiz1 + x + y , dy = [ 2raiz1 + x + y ]0^1 = 2raiz2 + x - 2raiz1 + x :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^1 (2raiz2 + x - 2raiz1 + x) , dx :
2 integral0^1 raiz2 + x , dx = 2 [ 23(2 + x)^3/2 ]0^1 = 43[(3)^3/2 - (2)^3/2] = 43(3raiz3 - 2raiz2)
Calculemos cada parte separadamente:
-2 integral0^1 raiz1 + x , dx = -2 [ 23(1 + x)^3/2 ]0^1 = -43(2^3/2 - 1^3/2) = -43(2raiz2 - 1)

Passo 8

Somando as duas partes:
43(3raiz3 - 2raiz2) - 43(2raiz2 - 1) = 43(3raiz3 - 4raiz2 + 1)

Resposta

Portanto, o limite é:
lim n infty n^-2 sumi=1^n sumj=1^n^2 1raizn^2+n i+j = 43(3raiz3 - 4raiz2 + 1)

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