Se
for contínua, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que uma tripla integral de uma função contínua
pode ser reescrita de uma forma mais simples. A matéria envolvida é Cálculo Integral, mais especificamente integração múltipla e mudança de ordem de integração. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como manipular integrais múltiplas e aplicar a regra de mudança de ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão que temos:
Isso significa que a gente está integrando a função
primeiro em relação a
de 0 até
, depois integrando o resultado em relação a
de 0 até
, e por último integrando em relação a
de 0 até
. Nosso objetivo é reorganizar essa tripla integral para chegar na expressão do lado direito.
Passo 3
Vamos começar trocando a ordem das integrais. Para isso, vamos visualizar a região de integração. Aqui,
varia de 0 a
,
varia de 0 a
e
varia de 0 a
. Podemos reescrever essa região vendo que para um
fixo,
vai de
até
, e
vai de
até
.
Então, a tripla integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a
. Como
não depende de
, a integral fica:
Substituindo de volta, temos:
Passo 5
Em seguida, vamos integrar em relação a
. Vamos considerar
e
como constantes nessa integração:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Finalmente, vamos simplificar a expressão:
Resposta
Assim, mostramos que