Se f for contínua, mostre que
integral0^x integral0^y integral0^z f(t) d t d z d y=12 integral0^x(x-t)^2 f(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que uma tripla integral de uma função contínua pode ser reescrita de uma forma mais simples. A matéria envolvida é Cálculo Integral, mais especificamente integração múltipla e mudança de ordem de integração. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como manipular integrais múltiplas e aplicar a regra de mudança de ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão que temos:
integral0^x integral0^y integral0^z f(t) , dt , dz , dy
Isso significa que a gente está integrando a função primeiro em relação a de 0 até , depois integrando o resultado em relação a de 0 até , e por último integrando em relação a de 0 até . Nosso objetivo é reorganizar essa tripla integral para chegar na expressão do lado direito.

Passo 3

Vamos começar trocando a ordem das integrais. Para isso, vamos visualizar a região de integração. Aqui, integral0^x integralt^x integralt^y f(t) , dz , dy , dt varia de 0 a , varia de 0 a e varia de 0 a . Podemos reescrever essa região vendo que para um fixo, vai de até , e vai de até .
Então, a tripla integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integralt^y f(t) , dz = f(t) cdot (y - t) . Como integral0^x integralt^x f(t) (y - t) , dy , dt não depende de , a integral fica:
Substituindo de volta, temos:

Passo 5

Em seguida, vamos integrar em relação a integralt^x (y - t) , dy = [ (y - t)^22 ]t^x = (x - t)^22 . Vamos considerar integral0^x f(t) cdot (x - t)^22 , dt e como constantes nessa integração:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Finalmente, vamos simplificar a expressão:
12 integral0^x (x - t)^2 f(t) , dt

Resposta

Assim, mostramos que
integral0^x integral0^y integral0^z f(t) , dt , dz , dy = 12 integral0^x (x - t)^2 f(t) , dt

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