Determine alpha de modo que todas as soluções da equação
y^prime prime+(alpha^2-1) y^prime+alpha y=0,
sejam limitadas.

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de alpha tais que todas as soluções da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + (alpha^2 - 1),y' + alpha,y = 0
sejam limitadas quando tto +infty. Vamos usar a teoria das equações de coeficientes constantes e estudar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica associada substituindo y=e^rt:
r^2 + (alpha^2 - 1)r + alpha = 0
As raízes são dadas por
r = -(alpha^2 - 1) pm raiz(alpha^2 - 1)^2 - 4alpha2

Passo 3

Para que as soluções y(t) permaneçam limitadas, precisamos que as partes reais de ambas as raízes satisfaçam
Re(r) <= 0
Em termos dos coeficientes, a soma e o produto das raízes são
r1 + r2 = - (alpha^2 - 1),
r1 r2 = alpha

Passo 4

Da condição Re(r)<=0 vem que a soma r1+r2 deve ser não positiva. Logo
-(alpha^2 - 1) <= 0 Longrightarrow alpha^2 - 1 >= 0 Longrightarrow |alpha| >= 1

Passo 5

Agora verificamos o produto das raízes para descartar casos em que uma delas seja positiva:
  • Se alpha>1, então r1r2=alpha>0 e r1+r2<0, o que implica que ambas as raízes têm parte real negativa. Todas as soluções são decrescentes ou oscilam com amortecimento, isto é, permanecem limitadas.
  • Se alpha=-1, então r1r2=-1<0, logo há uma raiz com parte real positiva: soluções não ficam limitadas.
  • Se alpha<-1, então r1r2<0 de novo, produzindo uma raiz com parte real positiva.

Passo 6

Concluímos que a única região em que todas as soluções são limitadas é
alpha >= 1

Resposta

alpha>=1

Exercícios relacionados