Determine
de modo que todas as soluções da equação
sejam limitadas.
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores de
tais que todas as soluções da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sejam limitadas quando
. Vamos usar a teoria das equações de coeficientes constantes e estudar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica associada substituindo
:
As raízes são dadas por
Passo 3
Para que as soluções
permaneçam limitadas, precisamos que as partes reais de ambas as raízes satisfaçam
Em termos dos coeficientes, a soma e o produto das raízes são
Passo 4
Da condição
vem que a soma
deve ser não positiva. Logo
Passo 5
Agora verificamos o produto das raízes para descartar casos em que uma delas seja positiva:
- Se
, então e , o que implica que ambas as raízes têm parte real negativa. Todas as soluções são decrescentes ou oscilam com amortecimento, isto é, permanecem limitadas. - Se
, então , logo há uma raiz com parte real positiva: soluções não ficam limitadas. - Se
, então de novo, produzindo uma raiz com parte real positiva.
Passo 6
Concluímos que a única região em que todas as soluções são limitadas é